基于貝塞爾曲線的雙鋼輪振動壓路機(jī)軌跡規(guī)劃研究*

趙方熠，高 博，趙睿英，王 欣

(1.長安大學(xué)道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710064；2.西安恒翔控制技術(shù)有限公司，陜西 西安 710064)

0 引言

相對于汽車而言，工程機(jī)械的作業(yè)單一，施工場所人流稀疏，大多沒有交通法規(guī)的限制，而且塵土、振動、噪聲及高溫等惡劣環(huán)境會影響人的健康和工作質(zhì)量[1]。這使得無人駕駛與自動作業(yè)迅速成為目前工程機(jī)械領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。軌跡規(guī)劃是壓路機(jī)無人駕駛的關(guān)鍵技術(shù)，Lemaire C等[2]提出了一種壓路機(jī)路徑規(guī)劃的幾何模型，考慮了壓路機(jī)的運(yùn)動學(xué)姿態(tài)和動力學(xué)約束，避免了執(zhí)行器達(dá)到飽和狀態(tài)；呂鎮(zhèn)基等[3]提出了一種相切圓弧軌跡規(guī)劃方法，實(shí)現(xiàn)了泊車所需的最小車位，并用緩和曲線解決了曲率不連續(xù)情況。

本文分析雙鋼輪振動壓路機(jī)的碾壓流程和作業(yè)要求，對比雙圓弧相切軌跡、等速偏移曲線與正弦曲線疊加軌跡和貝塞爾曲線軌跡的優(yōu)缺點(diǎn)和適用性，提出一種以曲線的曲率和曲率的變化率為約束，以曲率的最大值和最小值的差值為優(yōu)化目標(biāo)，以貝塞爾曲線為換道軌跡的優(yōu)化換道曲線。

1 雙鋼輪振動壓路機(jī)碾壓工作流程

在道路施工中，雙鋼輪振動壓路機(jī)通常跟隨瀝青混凝土攤鋪機(jī)進(jìn)行碾壓作業(yè)，進(jìn)行瀝青混凝土的復(fù)壓工作。碾壓過程以區(qū)域壓實(shí)為主，循環(huán)往復(fù)作業(yè)，碾壓工藝相對固定。雙鋼輪振動壓路機(jī)的路面碾壓作業(yè)流程可表示如圖1所示。假設(shè)單臺壓路機(jī)負(fù)責(zé)作業(yè)的路面寬度為攤鋪機(jī)熨平板的寬度，碾壓遍數(shù)為1遍，其中A0～H0分別代表各碾壓道的起始點(diǎn)；A1～H1分別代表各碾壓道的終點(diǎn)；陰影部分代表碾壓相鄰兩道重疊的區(qū)域。

待攤鋪機(jī)攤鋪到合適距離后，壓路機(jī)依次從區(qū)域I.1～I(xiàn).4，然后從區(qū)域II.1～I(xiàn)I.4進(jìn)行碾壓作業(yè)。

2 雙鋼輪振動壓路機(jī)碾壓作業(yè)要求

進(jìn)行瀝青路面壓實(shí)時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格遵守壓路機(jī)的操作規(guī)程和碾壓作業(yè)工藝，保證作業(yè)質(zhì)量達(dá)到施工要求。具體要求如下：

1)碾壓過程中，應(yīng)該使壓路機(jī)的驅(qū)動輪朝向攤鋪機(jī)熨平板一側(cè)，即驅(qū)動輪靠近新攤鋪的混合料，以減少波紋和斷裂現(xiàn)象；

2)壓路機(jī)啟動加速段的加速度平穩(wěn)，勻速碾壓段速度恒定，停車減速段的減加速度平穩(wěn)和換道時(shí)轉(zhuǎn)向平穩(wěn)，保證壓實(shí)度均勻和壓實(shí)質(zhì)量良好；

3)相鄰碾壓道之間每次重疊的寬度為dm。

3 雙鋼輪振動壓路機(jī)作業(yè)軌跡規(guī)劃模型

3.1 碾壓路線模型

根據(jù)以上作業(yè)要求，以碾壓第一區(qū)域?yàn)槟繕?biāo)，建立如圖2所示的碾壓路線模型。壓路機(jī)在A點(diǎn)啟動，經(jīng)過第①前進(jìn)加速段到達(dá)B點(diǎn)，使速度達(dá)到碾壓要求的速度v，然后壓路機(jī)勻速運(yùn)行到C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)減速，經(jīng)過第③前進(jìn)減速段到達(dá)D點(diǎn)。接下來，壓路機(jī)從D點(diǎn)倒車加速行駛到達(dá)C點(diǎn)，使速度達(dá)到v，然后壓路機(jī)倒著勻速行駛到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)處開始減速至出發(fā)點(diǎn)A時(shí)的速度v=0。第一條道路碾壓完成后，換道至相鄰車道，以A點(diǎn)作為換道的起始點(diǎn)，經(jīng)過第⑦換道加速段到達(dá)E點(diǎn)，不僅滿足換道要求且速度達(dá)到v，然后，壓路機(jī)按照相同模式將第二條道路完成碾壓。同理，將該區(qū)域其余道路依次碾壓。

由此可知，碾壓過程以直線碾壓為主，只有換道時(shí)需要走曲線。因此，接下來將以壓路機(jī)換道為目標(biāo)，對其換道曲線進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3.2 換道模型

假設(shè)雙鋼輪振動壓路機(jī)的輪寬為D，疊輪寬度為d，則換道寬度L=D-d，換道長度為S。以換道起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立圖3所示的換道模型。

4 雙鋼輪振動壓路機(jī)換道軌跡規(guī)劃

由3.2節(jié)可知，壓路機(jī)的換道軌跡規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)化為S型曲線設(shè)計(jì)的問題，其中壓路機(jī)換道的初始狀態(tài)和終端狀態(tài)為

(1)

一般使用的S型曲線中，雙圓弧相切曲線換道軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)處曲率不為0，且兩圓弧相切處曲率不連續(xù)；等速偏移曲線疊加正弦曲線軌跡雖然滿足換道軌跡曲率連續(xù)，而起點(diǎn)和終點(diǎn)處曲率為0，但不能確保中間段曲線的曲率滿足壓路機(jī)轉(zhuǎn)向所需的曲率范圍。下面利用貝塞爾曲線，設(shè)計(jì)出適合雙鋼輪振動壓路機(jī)的換道軌跡方案。

4.1 貝塞爾曲線的定義

貝塞爾曲線是由PauldeCasteljau在1959年運(yùn)用deCasteljau算法開發(fā)的，由法國工程師PierreBezier在1962年發(fā)表，主要用于汽車的主體設(shè)計(jì)[4]，現(xiàn)在也廣泛應(yīng)用于動畫制作和智能機(jī)器人軌跡規(guī)劃等領(lǐng)域。

貝塞爾曲線是一組由控制點(diǎn)作為頂點(diǎn)的多邊形且被多邊形包圍的曲線。在一空間內(nèi)，有n+1個(gè)由Pi(i=0，1，2，…，n)表示的控制點(diǎn)，則這n+1個(gè)控制點(diǎn)所形成的貝塞爾曲線方程可表示為：

(2)

其中，u為位置參數(shù)；Bi，n(u)為n次Bernstein基函數(shù)。對公式(2)求一階和二階導(dǎo)數(shù)得：

(3)

(4)

將u=0，1帶入公式(3)、公式(4)，求出兩端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：

(5)

(6)

(7)

(8)

由參數(shù)式給出的任意點(diǎn)曲率公式為：

(9)

其中，τ∈[0，1]為位置參數(shù)。將式(5)-式(8)帶入式(9)，求得起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲率為：

(10)

(11)

4.2 貝塞爾曲線控制點(diǎn)的計(jì)算

根據(jù)壓路機(jī)的換道模型，設(shè)q=[q(1)，q(2)，q(3)，q(4)]。其中，q(1)為x的坐標(biāo)，q(2)為y的坐標(biāo)，q(3)為壓路機(jī)的航向角；q(4)壓路機(jī)作業(yè)軌跡的曲率。

設(shè)初始狀態(tài)為q0=[0，0，0，0]，終點(diǎn)狀態(tài)為q0=[S，D-d，0，0]，本文采用七階貝塞爾曲線進(jìn)行換道模型點(diǎn)對點(diǎn)的軌跡規(guī)劃任務(wù)，因此需要先確定8個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)。

根據(jù)起點(diǎn)q0=[0，0，0，0]，可得第一個(gè)控制點(diǎn)：

(12)

為滿足起點(diǎn)的航向角約束φ0=0、速度約束v0=0、曲率約束ρ(0)=0，根據(jù)公式(5)、公式(10)，可得第二和第三個(gè)控制點(diǎn)：

(13)

(14)

同理，對于終點(diǎn)q0=[S，D-d，0，0]，可得第六、七、八個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)：

(15)

(16)

(17)

其中，vg為終點(diǎn)速度。

以上完成了滿足起點(diǎn)和終點(diǎn)約束的控制點(diǎn)設(shè)置，但中間曲線狀態(tài)還未能控制，選擇4個(gè)自由變量來描述控制中間曲線狀態(tài)的第四和第五個(gè)控制點(diǎn)，則：

(18)

(19)

綜上所述，通過確定P0、P1、P2、P5、P6、P7滿足壓路機(jī)起點(diǎn)位姿和終點(diǎn)位姿，然后通過控制4個(gè)自由變量確定中間曲線的走勢，可以得到一條唯一確定的貝塞爾曲線。

4.3 貝塞爾曲線的優(yōu)化

壓路機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)向過程受自身結(jié)構(gòu)(最小轉(zhuǎn)向半徑)、系統(tǒng)響應(yīng)(轉(zhuǎn)向速度)和作業(yè)要求(曲率連續(xù))等條件影響。以這些條件為約束，通過優(yōu)化的方法，求解出滿足壓路機(jī)行走性能的曲線。

圍手術(shù)期有效鎮(zhèn)痛是實(shí)現(xiàn)ERAS的核心內(nèi)容。術(shù)后疼痛的發(fā)生不僅嚴(yán)重影響患者機(jī)體各系統(tǒng)的功能，而且也嚴(yán)重制約了患者的快速康復(fù)。因此，快速康復(fù)相關(guān)專家共識中有多項(xiàng)條款均與鎮(zhèn)痛有關(guān)。有研究顯示，國外約77%以上的患者經(jīng)歷術(shù)后鎮(zhèn)痛，其中80%的患者為中-重度疼痛。國內(nèi)90%以上患者經(jīng)歷術(shù)后中-重度疼痛。因此，圍手術(shù)期，尤其是術(shù)后有效鎮(zhèn)痛是促進(jìn)患者快速康復(fù)的關(guān)鍵因素之一。

1)約束條件的建立

換道軌跡應(yīng)滿足壓路機(jī)的最小轉(zhuǎn)向半徑，且轉(zhuǎn)向速度不能大于最大轉(zhuǎn)向速度。所以，規(guī)劃軌跡的曲率應(yīng)小于最小轉(zhuǎn)向半徑所對應(yīng)的曲率，曲率的變化率小于最大轉(zhuǎn)向速度下的曲率變化率。因此，對曲率及其變化率建立約束條件：

(20)

d1、d2、d3和d4需滿足：

(21)

2)優(yōu)化目標(biāo)的建立

根據(jù)以上參數(shù)化的方法，最終建立了使用d1、d2、d3、d4確定滿足位置約束和姿態(tài)約束的軌跡。本文使用最優(yōu)化的方法求解出滿足約束的4個(gè)參數(shù)，采用的優(yōu)化目標(biāo)為[5]：

J(q0，qf，d1，d2，d3，d4)=ρmax(τ1)-ρmax(τ2) ，

(22)

其中，τ1和τ2是分別使曲線曲率最大和最小的參數(shù)。曲率對應(yīng)著壓路機(jī)的航向角，因此優(yōu)化目標(biāo)的含義是使曲線曲率即壓路機(jī)航向角的變化量最小。

3)曲線仿真

根據(jù)以上分析，該問題屬于有約束條件下的最小化問題。采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon優(yōu)化函數(shù)對該問題進(jìn)行優(yōu)化，則該問題可以描述為：

Minimize：J(q0，qf，d1，d2，d3，d4)

(23)

以YZC3雙鋼輪振動壓路機(jī)為研究對象，選取S=5 m，D=1.2 m，d=0.6 m和Rmin=4.8 m，則q0=[0，0，0，0]，qf=[5，0.6，0，0]。仿真得到基于貝塞爾曲線的換道軌跡如圖4所示，航向角變化如圖5所示，曲線的曲率變化如圖6所示。

由圖4、圖5、圖6可知，規(guī)劃軌跡連續(xù)；航向角變化連續(xù)，且初始和終了時(shí)刻航向角為0；軌跡曲率連續(xù)，曲率最大沒有超過0.2，且在初始和終點(diǎn)位置曲率為0。綜合以上，設(shè)計(jì)所得軌跡滿足設(shè)計(jì)要求。

5 結(jié)論

本文分析了雙鋼輪振動壓路機(jī)的碾壓流程，結(jié)合碾壓作業(yè)要求，建立了雙鋼輪振動壓路機(jī)的作業(yè)軌跡模型，包含直線和換道曲線兩部分。為克服雙圓弧相切軌跡、等速偏移曲線與正弦曲線疊加軌跡的缺點(diǎn)，將貝塞爾曲線作為換道軌跡曲線，把曲線的曲率及其變化率作為約束，以曲率的最大值和最小值的差值作為優(yōu)化目標(biāo)，對曲線進(jìn)行了優(yōu)化，得到了滿足要求的壓路機(jī)換道曲線。