一種改進的二維局部均值分解算法

馬朝永，付云超，胥永剛

(北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京100124)

1 引言

圖像處理中無論是紋理分析、圖像增強還是邊緣檢測，都是針對圖像中特定的尺度內容，通過對圖像不同尺度成分的提取，往往可以加快并且優化后續圖像處理的結果，因此圖像多尺度分析是圖像處理之前必不可少的關鍵一步[1，2]。

近些年，圖像多尺度分析方法不斷發展，2003年J.C.Nune等人將經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)推廣到二維信號領域，得到二維經驗模態分解(bidimensional empirical mode decomposition BEMD)[3]，BEMD對非線性信號具有很好的時頻分析特性，而圖像是一種典型的非線性非平穩信號，其中含有多種頻率成分：噪聲、邊緣和紋理是高頻信息，背景和灰度穩定的區域是低頻信息[4-6]。BEMD通過從原始圖像中減去均值包絡函數將圖像中的不同頻率內容拆分出來，得到一系列穩定的不同尺度的二維固有模態分量(bidimensional intrinsic mode function，bimf)圖像和一個趨勢殘差圖像，但是BEMD存在嚴重的端點效應和模態混疊現象[7，8]。2005年Jonathan S.Smith[9]在EMD的基礎上，針對EMD存在的不足，提出了一種新的多尺度時頻分析方法—局部均值分解(local mean decomposition，LMD)，LMD通過從原始信號中分解出純調頻信號并與包絡估計函數相乘，得到一系列瞬時頻率有物理意義的純調頻調幅信號與一個剩余信號；LMD的端點效應不明顯，分解得到的分量信號中保存了更多的頻率信息和包絡信息。2015年陳思漢等人[10]提出二維局部均值分解，用于對圖像進行多尺度分解，其利用Delaunay三角剖分算法，對極大值圖像和極小值圖像進行三角網格插值，得到局部均值函數和包絡估計函數，并通過設置篩分終止條件，最終將圖像分解成多個二維乘積函數(bidimensional production function，bpf)圖像，不同分量圖像包括不同的尺度成分。但由于插值算法的龐大計算量以及對相鄰極值點之間的“欠沖”和“過沖”造成的模態混疊現象，并且BLMD依賴于兩種閾值的選擇，缺乏自適應性。使得BLMD并不能成為一種高效的二維信號多尺度分析方法。

針對于此，本文在BLMD的基礎上提出一種改進算法，用OSF代替三角剖分插值算法對圖像進行局部均值函數和包絡估計函數的求取[11]，其中OSF的窗口尺寸由每次待分解圖像自身極值點信息驅動，具有自適應性；包絡估計函數在每次分解當中只迭代兩次，以此作為新的篩分終止條件，能有效降低算法的循環次數，減少計算量。通過對自然圖像和仿真圖像的實驗分析，證明了改進算法在對圖像中不同尺度內容進行分解方面具有一定的優勢。

2 二維局部均值分解算法

陳思漢等人將LMD首次推廣到二維圖像領域，結合圖像信號與一維信號的不同與自身特點，提出利用Delaunay三角剖分算法對相鄰極值點之間插值，從而得到局部均值函數圖像和包絡估計函數圖像，并且設置了得到每一個乘積函數圖像需要滿足的篩分終止條件。BLMD的分解步驟如下：

1)圖像初始化hij(x，y)=f(x，y)，設置窗口尺寸閾值Tw和極值點個數閾值Tm；

2)用8-鄰域窗算法求圖像hij(x，y)中的局部極大值點，搜索每個極大值點Tw鄰域內所有極小值點，如果極小值點個數大于Tm，則進入步驟3)，否則Tw+1，重復步驟2)；

3)用Delaunay三角剖分插值算法對極大值點圖像和極小值點圖像進行插值，得到極大值包絡Emax和極小值包絡Emin，計算局部均值圖像Eave和包絡估計圖像aij，并進行平滑處理

(1)

(2)

4)待分解圖像減去局部均值圖像，并對剩余圖像進行解調；計算公式如下

hi(j+1)(x，y)=hij(x，y)-Eave

(3)

(4)

5)判斷Sij(x，y)是否是純調頻函數，判斷依據如下

1-Δ≤aij≤1+Δ

(5)

此即為篩分終止條件，如果滿足該條件，則停止迭代，進入步驟6)。否則，返回步驟2)，繼續迭代直到Sin(x，y)為純調頻信號，將此過程中得到所有包絡估計函數ain相乘得到包絡信號；

ai=ai1ai2…ain

(6)

6)純調頻信號Sin(x，y)與包絡估計信號ain相乘，得到一個乘積函數分量圖像bpfi，將原始圖像f(x，y)減去分量圖像得到的剩余圖像作為原始圖像，返回步驟1)，繼續循環，直到達到預設的分解次數，或者剩余圖像中局部極值點的個數少于兩個。

bpfi=Sin(x，y)·ai

(7)

ri(x，y)=f(x，y)-bpfi

(8)

最終原始圖像被分解成多個尺度由小到大排列的乘積函數圖像和一個殘余圖像r(x，y)，公式表示如下：

(9)

陳思漢在提出二維局部均值分解時，并沒有給出明確的適用二維圖像的篩分終止條件Δ的取值范圍，而是沿用處理一維信號時的取值范圍[12-14]，造成在圖像分解過程中出現過度迭代或者欠迭代，這都將使尺度分解產生誤差；并且窗口尺寸閾值Tw和極值點個數閾值Tm都是經驗量，并沒有給出確切的選擇依據，由于每幅圖像紋理復雜度及頻率復雜度的不同，對于Tw和Tm的選擇也不盡相同，除此之外，BLMD還存在嚴重的由于插值算法造成的模態混疊現象。因此，BLMD算法仍有一些不足之處。

3 快速自適應二維局部均值分解算法

FABLMD的改進之處既是關鍵的一步是用OSF求極大值圖像和極小值圖像的包絡面，得到的上下包絡面更加精確，并且相比較于三角剖分插值，計算速度更快，能夠大大的節省計算開銷。

3.1 順序統計濾波器

OSF分為極大值統計濾波器和極小值統計濾波器；OSF的3×3模板如圖1所示，濾波器的窗口大小由待分解圖像自身極值點信息驅動，具有自適應性，窗口尺寸的計算步驟為：

圖1 順序統計濾波器3×3模板

1)利用8-鄰域法尋找待分解圖像Ij(x，y)的局部極大值點和局部極小值點；

2)計算每一個極大值點與之相鄰最近的極大值點之間的距離，然后四舍五入求整，存在向量dmax中，同理，將每個相鄰最近的極小值點之間的距離存在向量dmin中。

最后順序統計濾波器的計算公式有如下四種：

W1=min{min(dmax)，min(dmin)}

(10)

W2=max{min(dmax)，min(dmin)}

(11)

W3=min{max(dmax)，max(dmin)}

(12)

W4=max{max(dmax)，max(dmin)}

(13)

通過上式可以看出，式(10)到(13)計算得到OSF的窗口尺寸逐漸增大。窗口尺寸越大，分解得到的分量圖像之間的差別就越大，窗口尺寸越小，分解得到的分量圖像之間的差別就越小，具體選擇何種公式計算得到的統計濾波器，需要根據目的需求確定；以上四種計算公式都是根據圖像自身的灰度信息確定的，在每次待分解的圖像上計算一次。

以極大值統計濾波器為例，極大值統計濾波器通過在圖像上以1個像素為步長進行平移，將窗口下所有像素的灰度值進行排序，選擇其中最大的值作為窗口中心位置的灰度值，其它位置的灰度值不變；對整幅圖像進行遍歷，然后使用均值濾波器進行平滑處理，同理使用極小值統計濾波器對圖像進行相同操作，兩種順序統計濾波器的尺寸相同，皆取整為奇數大小。最終得到局部均值函數和包絡估計函數。圖2是對模擬圖像的數字矩陣用極大值統計濾波器求上包絡的示意圖。

圖2 極大值濾波器求上包絡圖像

3.2 FABLMD

快速自適應二維局部均值分解算法的具體步驟為：

1)圖像初始化，Ii1(x，y)=G(x，y)；

2)按照目的需要，根據式(10)-(13)，選擇其中一個，在圖像Ii1(x，y)上計算OSF的窗口尺寸；

3)用OSF求Ii1(x，y)的上包絡Ui1(x，y)和下包絡圖像Li1(x，y)，進而計算得到局部均值函數Emi1和包絡估計函數ai1，并對局部均值函數和包絡估計函數進行均值平滑處理

(14)

(15)

4)圖像Ii1(x，y)減去局部均值函數，并對剩余圖像進行解調，計算公式如下；將解調后的圖像作為Ii2(x，y)返回步驟2)，繼續執行，又得到一個包絡估計函數ai2和解調函數Hi2(x，y)

Si1(x，y)=Ii(x，y)-Emi1

(16)

(17)

Ii2(x，y)=Hi1(x，y)

(18)

將兩次得到的包絡估計函數相乘得到包絡信號ai，包絡信號與最新的解調函數相乘得到一個乘積函數分量圖像bpfi

ai=ai1·ai2

(19)

bpfi=Hi2(x，y)·ai

(20)

原始圖像減去bpfi的剩余圖像作為下次分解的處理圖像Ii+1(x，y)，返回步驟1)繼續循環，直到達到預設的分解次數或者剩余圖像中極值點個數小于2個。

ri(x，y)=Ii(x，y)-bpfi

(21)

Ii+1(x，y)=ri(x，y)

(22)

這樣，一幅成分復雜的圖像就被分解成了幾幅不同尺度范圍的分量圖像和一個反映灰度趨勢信息的剩余圖像；其中，步驟4)提出了一種新的篩分終止條件—包絡估計函數ai1只迭代兩次，相比于BLMD的篩分終止條件，新的篩分終止條件大大減少了算法循環次數，節省時間成本，通過對仿真圖像和自然圖像的實驗分析都驗證了其有效性。

4 實驗分析

首先用仿真圖像驗證FABLMD的有效性，仿真圖像是由三幅頻率不同的正弦圖像合成，如圖3所示，尺度由小到大排列，頻率逐漸減?。粚铣蓤D像圖3(d)分別用BLMD和FABLMD進行三次分解，其中BLMD采用文獻[10]所提算法，FABLMD的OSF窗口大小選用式(12)進行計算。首先對兩種方法其中一次分解得到的包絡面進行比較，如圖4所示，可以看出由三角剖分插值得到的上包絡里明顯存在“過包絡”現象；相反，OSF估計得到的包絡面較平整，不存在“過包絡”。如圖5、6示，分解得到三幅分量圖像和一幅剩余圖像。

圖3 仿真圖像

圖4 兩種包絡面計算方法效果對比

圖5 FABLMD效果

通過對比圖5和圖6兩種算法的分解效果，直觀上可以看出FABLMD分解得到三個bpf更加接近原相同尺度的仿真圖像，而BLMD的分解結果明顯偏暗；為客觀的對比兩種算法的特性，統計兩種算法分解得到每個分量圖像與相同尺度范圍的仿真圖像的相關系數corr2，以及分解三次所用時間，相關系數反映了兩幅圖像的相似度，統計結果如表1所示。從表1中可以看出，改進算法的分解結果與原仿真圖像的相關系數更高，算執行時間更短，這主要得益于利用OSF求局部均值函數和包絡估計函數的自適應性和精確性。

圖6 BLMD效果

表1 兩種算法分解效果對比

接下來用cameraman和lena自然圖像(如圖7所示)來對兩種算法進行檢驗，相比于仿真圖像，自然圖像含有更多的特征信息，兩種算法的差距更加明顯。分別使用兩種算法對自然圖像進行三次分解，并對兩種算法的運行時間進行統計，尺度按從小到大排列，如圖8、圖9所示。然后對分解后的分量圖像進行重構，結果見圖10，計算重構后的圖像與原圖像的均方根誤差，均方根誤差是衡量圖像重構精度的重要指標之一，結果如表2所示。

圖7 自然圖像

圖8 FABLMD分解效果

圖9 BLMD分解效果

圖10 重構效果

表2 均方根誤差對比

通過對比可以看出，在對自然圖像的分解效果上，FABLMD的運行時間短，分解速度更快；BLMD方法的bpf分量里存在明顯的“黑斑”和“白斑”，這就是“過包絡”和“欠包絡”產生的影響，比如lena的肩膀和cameraman的相機支架的位置；并且分解三次后的殘余圖像中仍然含有一些細節信息，分解不徹底；而FABLMD的bpf分量間不同尺度信息得到有效分離，并且改進算法分解后的所有分量圖像的重構與原始圖像的均方根誤差最??；這種差距來源于FABLMD對圖像中不同頻率成分的提取更加準確，能夠避免較多的模態混疊，同時也展示了新的篩分終止條件對節約計算成本所做的貢獻。

對cameraman和lena選擇用式(11)計算得到的OSF尺寸進行FABLMD分解，分解三次的各個尺度分量與殘余項如圖11所示，通過與圖8進行對比，可以看出，當濾波器尺寸較小時，前兩個分量所含的紋理、邊緣等細節更加細膩，因為噪聲是高頻信息，因此第一個分量包含了圖像中的大部分噪聲，選擇較小的統計濾波器尺寸對圖像進行多尺度分析時，有利于提取噪聲信息，分析噪聲模型；而當OSF尺寸較大時，圖像的大部分信息主要集中在了前兩個分量里，而剩余分量只是反映了圖像的灰度趨勢，此時可以選擇對前兩個分量進行重構，獲得圖像主要的結構信息，以降低數據冗余；所以可以根據需求的不同，來確定OSF的計算方式，因而本文所提的改進算法在圖像多尺度分析領域更加靈活。

圖11 OSF尺寸為W2時分解效果

5 全文總結

本文在BLMD基礎上提出一種改進算法，用OSF代替插值算法估計圖像上下包絡，能有效降低“過包絡”和“欠包絡”情況的發生；并提出一種新的篩分終止條件，包絡信號由相鄰兩次的包絡估計函數相乘得到，避免因尋找純調頻信號而多次循環，能夠節約時間成本；仿真結果證明了改進算法的可行性，并且FABLMD能夠有效抑制圖像多尺度分解產生的模態混疊現象，得到更準確的特征提取結果，是一種更優的圖像多尺度分析方法。