一種互聯系統的分布式結構控制器設計方法

2022-03-15 10:31:22杜俊鵬關燕鵬

計算機仿真 2022年2期

杜俊鵬，關燕鵬

(山西大學自動化系，山西太原 030006)

1 引言

現實生活中存在著一種系統，如電力系統、通信系統、石化系統等，它們都具有結構復雜、關聯性強、功能全面、影響因素多的特點。稱之為互聯的大系統[1-5]。特別是隨著互聯網的興起和發展，這一跨地區甚至跨國家的大規模互聯系統承擔著科研、教育、商務等重要任務，發展迅速，為社會經濟發展創造了巨大效益。

對于每一個大型互聯系統，如何建立子系統以及如何規劃子系統之間的連接和協調是核心問題。通常需要部署一系列的控制器，以便對每個子系統進行有效和高效的監視和控制。傳統上，這種設計過程是以分散的方式實現的，即每個控制器只能從自己的子系統感知測量信息，然后實現對自己子系統的控制輸入。這種去中心化的配置結構具有計算量小、設計復雜程度低等優點，但同時也不可避免地導致了系統性能的惡化和網絡環境中應用范圍的限制。事實上，隨著通信技術和互聯網技術的發展，控制器可以在地理上分布，也可以遠程調度。每個本地控制器的信息可以通過一個共享的通信網絡在它的鄰居之間進行交換。這樣，每個控制器可以使用更多的反饋信息，這就意味著整個互聯系統的控制性能有望得到改善。

基于以上討論，本文考慮了網絡系統中各子系統控制站之間通信拓撲的設計問題。首先，如果在每個子系統中都設置一個控制器，并在每個子系統與其它子系統之間建立一個通信通道，顯然對管理者最有利，并且能夠以最好的效果管理整個控制系統。然而，這種方法在實踐中往往是行不通的。一方面，一般不需要在每個子系統之間建立通信通道，這樣會產生大量的冗余；另一方面，建設成本也是一個考驗。因此，如何利用較少的通信信道來達到預期的控制效果是討論的核心問題。那么應該在哪些控制器之間搭建通信信道呢？在現有的分布式控制結果中，分布式控制器之間的耦合關系通常用固定加權圖來描述，因此是預先確定的。換句話說，空間分布式控制器的通信拓撲結構是預先給定的，在整個設計和實現過程中保持不變。但是，從工程的角度來看，確定一個控制器是否應該從另一個控制器獲取信息可能并不容易，因為必須在安裝成本和系統性能的變化之間進行權衡，而這是事先不確定的。因此，在充分考慮系統性能要求的前提下，對網絡化互聯系統控制器之間的連接進行調度是十分必要的。

本文假設滿足實際系統的通信信道的數目是一個固定值，以此平衡通信成本和控制性能，即將此問題轉化為一個稀疏優化問題來處理。稀疏優化是相關領域的一個研究熱點[6-10]。在文獻[6]中，設計了一種交替方向乘子法的稀疏約束方法，經驗證可以用一個設定值控制矩陣的稀疏水平；文獻[7]研究了一類約束條件下的最優控制問題，它可以在不增加有限維的情況下求解稀疏最優控制問題；文獻[8]中，將一種稀疏正則化原理，應用于對模糊圖像的盲復原上，對目標圖像進行稀疏正則化約束，得到了稀疏性正則化約束目標圖像復原模型。

然后，把稀疏優化問題轉化為一種勢約束問題，由于勢約束問題的復雜性，它通常是一種非線性的難解的問題[11]，通常能在投資學、金融學、運籌學等涉及優化博弈的領域見到這種問題。在本文中，采用一種混合整數放松法來解決這種問題。

2 問題描述

2.1 系統框架

如圖1所示，考慮一個由以下形式的p個子系統組成的互聯系統

(1)

其中：i，j∈{1，2，…，p}，xi(t)∈Rni為系統狀態向量，ui(t)∈Rmi為系統控制輸入向量，Ai，Bi和Gij表示具有合適維度的常數矩陣，子系統i和子系統j通過Gij或Gji物理連接，如果子系統j和i之間沒有互相影響，那么耦合矩陣Gij=0。假設系統沒有丟包現象，所有狀態都可以測量，分布式網絡化控制系統結構圖如圖1所示。

圖1 互聯系統的分布式控制框架

2.2 問題提出

分布式控制系統分為p個子系統，具有分布范圍廣、傳感器數量多、對網絡傳輸能力要求高的特點。控制器設計形如(2)式所示

(2)

其中，Ki是控制器增益矩陣，Fij是需要去確定的具有適當維數的耦合矩陣。從式中可以看出，非零Fij意味著控制器i可以利用xj(t)的信息，而Fij=0意味著i不能利用xj(t)的信息。也就是說，一個非零Fij意味著控制器i和j之間存在著一個有向通信信道。

在現有的相關文獻中，一般認為控制器只能從相鄰的控制器獲取信息[12-14]，通常控制器之間的通信關系是隨機設置的，不能確定應該提前在哪些控制器之間設置通信連接。在通信時，通過設置盡可能多的通信通道來滿足系統的需要。這樣雖然保證了系統的穩定性，但也會在一定程度上浪費資源，建立過多的通信渠道，還容易導致網絡攻擊[15]，系統的安全性越來越差。在本文中，對控制器之間的耦合通信通道的數量進行了約束，該約束等價于非零耦合矩陣Fij的數量。

在上述分析的基礎上，給出以下關于通信信道數量限制的定義

(3)

然后將為互聯系統(1)中設計的分布式控制器可以表示為

(4)

其中

而0≤κ≤p(p-1)，表示給系統設置的控制站之間耦合連接的最大允許數目，如果一個分布式控制器滿足(4)式，就稱其為具有稀疏結構的分布式控制器。

注1：從(4)中可以看出，如果整數κ=0，設計的分布式控制器將變成一個分散控制器，而在κ=p(p-1)的情況下，分布式控制器的效果將相當于集中控制器，每一個控制器可以使用所有子系統的狀態信息[16，17]。

根據上述分析，得到分布式網絡閉環控制系統如下

(5)

其中

x(t)：=col{x1(t)，x2(t)，…xp(t)}

以及

(6)

3 集中式控制器設計

在本節中，將建立一個保證閉環控制系統呈指數漸近穩定的充分條件。使用李雅普諾夫方法來證明系統的穩定性。首先引入一個李雅普諾夫函數

V(t，x(t))=xT(t)Px(t)

(7)

式中P為正定矩陣。

對李雅普諾夫函數關于時間t求導可得

(8)

結合式(5)，上式可表示為

(9)

(10)

可以看出(10)中，存在非線性項，而非線性項不利于問題的解決，對式子兩邊同乘一個P-1，于是上式變為

(11)

然后對上式進行變量代換，令

(12)

于是(11)式變為

(13)

(13)式為一個不存在非線性項的線性式子，當該式成立時，則系統穩定。

4 結構控制器設計

基于前面穩定性分析的結果，本節將對如何設計分布式稀疏控制器進行具體介紹。受[18，19]中預先設定的勢約束的重新提法的啟發，得到了以下結果。

(14)

(15)

利用混合整數法，可以將勢約束問題轉化為一個混合整數規劃的線性問題，這類線性的規劃問題可以通過各類線性處理工具比較容易的解決。

然后，考慮了基于上述算法的標準放松

(16)

這里當將yl的取值變成了一個范圍，這并不是很大的變化，但是它拓寬了可行域，一定程度上提高了系統的自由度，此時系統的可行域如圖2所示。然后繼續考慮增加系統的可行域，首先，定義函數

圖2 放松后混合整數法的可行域

(17)

以及

(18)

當d≥0時，可以證明

(19)

(20)

然后再次展開系統的可行域，如圖3所示。

圖3 再次放松的可行域

綜上，帶有勢約束的優化問題由于其復雜性通常難以解決，通過定理1，將這種約束問題轉化為一種放松方法進行求解，然后通過yalmip、cplex以及groubi等工具箱可以有效地解決該問題。

結合定理1和(13)式穩定性分析條件，即可設計出滿足稀疏約束要求的分布式網絡結構控制器。

5 仿真例子

在本節中，選擇了一個三機電力系統模型進行仿真，以證明上述方法的有效性(對于電力系統的更多動力學和建模，可以參考文獻[19，20])。它的分布式控制系統由三個子系統組成。每個子系統如下所示

(21)

其中，xi(t)=col{θi(t)-θi0，ωi(t)，Pi(t)-Pi0，Xi(t)-Xi0}表示第i個子系統的狀態向量；θi(t)表示第i個機器的轉子角度；ωi(t)表示第i個機器的相對速度；Pi(t)表示第i個機器的機械功率；Xi(t)表示第i個機器的蒸汽閥門開度；θi0，Pi0，Xi0是前面這些參數的標稱值；參數矩陣如下所示

(22)

式中，Dci，Hi，ω0以及矩陣中的其它參數代表了電力系統中的阻尼系數、慣性常數、渦輪增益等相關參數。

矩陣Ai和Bi中的參數值如表1、2所示