說“故事”找關系 建模型

文／崔 競

方程與不等式是初中階段兩個重要的數學模型，“審、找、設、列、解、驗、答”這七步是利用方程解決實際問題的基本步驟。其中，最關鍵的是找等量關系。我們只有找到等量關系，才可列出方程。

一、尋找“故事”的主角

例1某超市有線上和線下兩種銷售方式。與2019年4月份相比，該超市2020年4月份銷售總額增長10%，其中線上銷售額增長43%，線下銷售額增長4%。求2020年4月份線上銷售額與當月銷售總額的比值。

【分析】本題敘述的主要“故事”是兩年銷售額的增長問題。“故事”的主角是：銷售額，線下、線上兩種銷售額的增長率。它們之間的關系如下：

2020年銷售總額=2019年銷售總額×（1+增長率）；

銷售總額=線上銷售額+線下銷售額。

設2019年4月份的銷售總額為a元，線上銷售額為x元，則“故事”的主角可以如下表示：

時間銷售總額（元）線上銷售額（元）線下銷售額（元）2019年4月份a x 2020年4月份1.1a 1.43x a-x 1.04（a-x）

解：根據題意，得1.1a=1.43x+1.04·（a-x），

答：2020年4月份線上銷售額與當月銷售總額的比值為0.2。

【小貼士】“故事”中涉及的主角較多時，我們可以利用表格幫助整理數量之間的關系。

二、說“故事”

例2某學校為改善辦學條件，計劃采購A、B兩種型號的空調。已知采購3臺A型空調和2臺B型空調，需要費用39000元；4臺A型空調比5臺B型空調的費用多6000元。

（1）求A型空調和B型空調每臺各需多少元；

（2）若學校計劃采購A、B兩種型號空調共30臺，且A型空調的臺數不少于B型空調的一半，兩種型號空調的采購總費用不超過217000元，該校共有哪幾種采購方案？

【分析】本題敘說的主要“故事”是兩種型號空調的購買問題。“故事”的主角是：A、B型空調。在問題（1）中發生的“故事”有兩個：兩種不同購買方案。第一種方案，3臺A型空調和2臺B型空調，需費用39000元；第二種方案，4臺A型空調比5臺B型空調的費用多6000元。它們存在的基本關系：單價×數量=總價。問題（2）講述的是采購“故事”，涉及三個條件：A、B兩種型號空調共30臺，A型空調的臺數不少于B型空調的一半，采購總費用不超過217000元。其中用“不少于”“不超過”體現數量之間的不等關系。

解：（1）設A型空調和B型空調每臺各需x元、y元。

答：A型空調和B型空調每臺各需9000元、6000元。

（2）設購買A型空調a臺，則購買B型空調（30-a）臺。

根據題意，得

所以a=10、11、12，則共有三種采購方案。

方案一：采購A型空調10臺，B型空調20臺；

方案二：采購A型空調11臺，B型空調19臺；

方案三：采購A型空調12臺，B型空調18臺。

【小貼士】列不等式解決問題時，我們一般先借助等量關系表示相關量，再列出不等式找出解決方法，不建議聯立方程和不等式。

三、找關系建模型

例3某商店在2016年至2018年期間銷售一種禮盒。2016年，該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完；2018年，這種禮盒的進價比2016年下降了11元/盒，該商店用2400元購進了與2016年相同數量的禮盒也全部售完，禮盒的售價均為60元/盒。

（1）2016年這種禮盒的進價是多少元/盒？

（2）若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同，問年增長率是多少？

【分析】本題敘說的主要“故事”是禮盒的銷售問題。“故事”的主角是：禮盒。在問題（1）中發生的“故事”有兩個：禮盒進價兩年相差11元，兩年分別花費不同價格購買數量相同的禮盒。它們存在的基本關系：進價×數量=總價。兩個“故事”體現的關系分別是：2016年進價-2018年進價=11元；2016年3500元購買數量=2018年2400元購買數量。問題（2）講述的是銷售利潤增長的“故事”，描述的關系是：2016年到2017年的增長率=2017年到2018年的增長率。存在的基本關系是：原銷售利潤×（1+增長率）=現銷售利潤。

解：（1）設2016年這種禮盒的進價為x元/盒，則2018年這種禮盒的進價為（x-11）元/盒。

解得x=35。

經檢驗，x=35是原方程的解。

答：2016年這種禮盒的進價是35元/盒。

（2）設年增長率為a。

根據題意，得

（60-35）（1+a）2=60-35+11。

解得a=0.2=20%或a=-2.2（不合題意，舍去）。

答：年增長率為20%。

【小貼士】在求解方程的過程中，我們應注意對方程解的檢驗：（1）符合方程解的意義；（2）符合實際。

在運用方程（不等式）解決實際問題的過程中，我們一般先通過粗略讀題了解實際問題的背景，找出“故事”的主角，也就是問題涉及的基本量。再次閱讀題目，我們需要找出同種基本量的關系，或者兩個基本量之間的關系，也就是這里所說的“故事本身”。一般我們會利用其中一個“故事”中基本量之間的關系，把涉及的基本量都用未知數表示出來，再用另外一個“故事”中存在的關系列方程（不等式），從而建立模型解決問題。