淺談“幾何畫板”在解析幾何教學中的應用研究淺談“幾何畫板”在解析幾何教學中的應用研究

◎黃江艷

(深圳市羅湖外語學校高中部，廣東 深圳 518000)

筆者探究了近幾年全國新課標Ⅰ卷20道有關動點軌跡的問題，結合平面解析幾何課程教學的特點和高中普通班學生的認知情況，利用幾何畫板的優勢，結合具體情況不斷完善教學案例，并且根據案例中提出的問題，通過情境教學的方式進行教學活動，以引導學生在實際操作中養成獨立思考的意識，點燃學習熱情.

本文結合具體案例研究怎樣將平面幾何畫板應用到幾何教學當中，幫助學生了解數學概念和性質，切實解決學生學習過程中出現的一些問題.

一、幾何畫板在揭示數學概念形成過程中的應用

新一輪課程改革提出的基本理念之一是推動學生實現自主學習.同時，自主學習也是培養學生學習能力的重要途徑.在傳統的高中數學教學活動中，教師常采用灌輸知識的方式，導致課堂氣氛枯燥乏味.學生受到不良學習環境的影響，難以產生學習興趣.他們經常消極對待數學學習，導致數學學習質量較差.幾何畫板在高中數學教學中的應用不僅能將抽象的靜態數學知識轉化為生動的動態圖像，還能創造出適宜的教學情境和良好的教學環境，使學生通過與環境的互動獲得數學知識，提高數學學習質量.數學概念是通過抽象的方式展現現實生活中出現的一些數量關系和空間形式，或者是把原先的數學理論作為基礎對相應的思維邏輯進行創新.概念的產生都有其必然性，教師在進行概念教學時要抓住概念產生的背景，找出適合學生理解的、有趣而生動的切入點，引導學生深入理解概念，讓學生對數學有一個客觀的認識.而利用幾何畫板可以更加直觀、形象地展現過程性概念，有利于讓學生掌握數學概念的本質和特點.幾何畫板作為一款專業軟件是教學軟件的代表.它形式多樣，具有強大的繪圖功能.它一出現，就在數學、物理、化學等學科教學的實施中發揮了重要作用.以高中數學教學為例，在教學實施過程中，幾何畫板的靈活應用不僅能促使數學教師改變傳統的教學模式，還大大降低了數學知識的理解難度.

接下來，筆者結合教學經驗詳細介紹幾何畫板在高中數學教學中的應用價值，并在此基礎上結合教學實踐介紹運用幾何畫板組織教學活動的幾種策略，以為一線教師提供教學參考，促進數學教學的發展.

案例1拋物線概念的理解

伸縮性比較差的繩索可以作為繪制橢圓的工具，伸縮性比較差的拉鏈可以作為繪制雙曲線的工具，但是沒有辦法利用傳統道具直觀地展現拋物線的軌跡.很多教師在進行教學的過程中會選擇直接告訴學生拋物線的概念和拋物線滿足的條件，學生理解起來難度非常大.在這時選擇幾何畫板動畫技術則可以直接讓學生了解拋物線軌跡的產生過程.如圖1所示，直線AB與BD垂直，A點是線段BF的垂直平分線AM和直線AB的交點.學生在觀察A的運動軌跡過程中可以更加具體、直觀地了解拋物線的抽象概念和屬性，從而深入理解拋物線知識.

圖1

二、幾何畫板在揭示數學性質發現過程中的應用

因為數學教材的局限性，有時教材會直接展現數學知識的相關性質，這讓學生無法對數學產生感性認知，讓普通學生理解數學性質的難度加大.運用幾何畫板的跟蹤和生成動畫功能則可以有效降低這方面困難.尤其是幾何畫板可以通過拖動對象的方式研究圖形的變化過程，從而使學生理解圖形背后的性質.例如，案例2,3,4都可以通過觀察圖形變化和離心率(或p值)變化的關系，加深學生對橢圓、雙曲線和拋物線性質的理解.

案例2改變c值，讓離心率出現變化，研究橢圓的變化情況

圖2

案例3改變a值，離心率變化，觀察雙曲線開口大小

圖3

案例4改變p值，觀察拋物線開口大小

如圖4所示，用鼠標拖動點F，改變p=|FF′|的大小，觀察拋物線開口的大小，可使學生理解拋物線的性質.學生很容易發現，拋物線的焦點F到準線lCF′的距離p=|FF′|如果逐漸越大，表明拋物線的開口也將越來越大；距離越小，開口越小.學生在研究拋物線開口和p值之間的具體關系時，可以思考拋物線開口的性質，從而更加深入地了解方程和圖形之間的聯系，一定程度上也會對相關數學知識更加感興趣.

圖4

三、幾何畫板在問題解決過程中的應用

數學發展史表明，當前解析幾何的很多理論和方法都是經過前人的實踐總結出來的.雖然學生當前面臨的數學問題比較淺顯，但是對普通學生而言依然存在著不小的難度.故在遇到一些數學問題時，教師利用幾何畫板既可讓學生加深對問題的印象，又可幫助學生在解答問題時降低難度，提升學生分析問題的能力.

案例5～7都是有關平面上點的運動軌跡問題.研究點的軌跡一直是平面解析幾何的重點方向.這一內容也一直是學生學習過程中的重難點.在傳統的教學過程中，教師在講授知識點時會比較潦草地畫出重點圖形的軌跡圖像，學生僅憑想象無法精準了解點的運動軌跡，普通班的學生甚至難以想象圖形是如何形成的，更不用談理解軌跡的特殊位置等問題.而幾何畫板可以更加直觀地展示圖形的運動情況，有利于學生掌握軌跡的本質特點，從而提高解決問題的能力.

案例52016年新課標Ⅰ，理T20(1)

設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程.

據調查，普通班學生對本高考題在圖形想象、相似三角形的尋找、相等線段的發現和圓半徑長度相等的利用上有困難.如圖5，教師可以利用幾何畫板，讓點C在圓上運動(生成動畫)，點E追蹤軌跡，觀察點E的軌跡，形成感性認識，同時，讓運動的速度慢一些，指導學生觀察線之間的關系.當點C運動到圖示位置(或其他易觀察圖形關系的位置)，可停止動畫，讓學生觀察平行線，找出相等線段，從而獲得答案.另外，在特殊位置y=0處，教師也要特別停頓動畫，讓學生好好感受，并記住要除去這一情況.

圖5

案例6已知圓M：(x+1)2+y2=1，圓N：(x-1)2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求C的方程.

本高考題的難點在于涉及三個圓，作圖更加困難，動圓的變化更是難上加難，x≠-2也是學生容易遺漏的.教師通過幾何畫板的演示(如圖6)，既可使學生更好地理解和想象圖形，也容易使學生找到線段之間的關系，發現特殊位置H是要除去的，因為動圓P運動到位置H會停頓，也容易觀察到在位置H時動圓的半徑為0，不符合圓的定義，所以要除去，即x≠-2.

圖6

案例7圓的外接三角形頂點的運動軌跡

△ABC的頂點為A(-5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x=3上，則頂點C的軌跡方程是( ).

在本案例的教學中，學生通過觀察動點C的運動軌跡容易選出正確答案.教師在本案例的制作中可將相等線段用相同顏色表示(比如圖7，|AD|=|AE|，|CD|=|CF|，|BF|=|BE|)，學生很容易找到了相等線段，并結合三角形內切圓的特征，從圖中觀察和理解了為何動點C的軌跡為雙曲線的右支.幾何畫板能將解決問題的關鍵點直觀地表達出來，讓學生一目了然，印象深刻，同時達到使學生全面認識數學問題的目的.

圖7

四、幾何畫板在高中數學教學中的應用策略

(一)改進教學模式，展示數學現象，幫助學生理解數學規律

改進教學模式是幾何畫板在高中數學教學中的應用價值之一.在實施高中數學課堂教學時，教師可以根據課堂教學的特點進行教學改進，利用幾何畫板展示某一數學知識點所反映的數學現象，降低數學知識的探究難度，通過對數學現象的觀察和分析，使學生逐步深入，掌握數學知識的規律，加深對數學知識的理解.以“集合”為例，本課程的教學活動旨在讓學生掌握集合的含義，學習集合的表達方式.在現實生活中，我們可以找到集合的痕跡，因此，在實施課堂教學時，筆者用幾何畫板直觀地展示學生熟悉的生活現象，如家庭、學校、班級、男孩和女孩，并引導學生分析這些概念之間的關系.根據學生的陳述，筆者用幾何畫板將這些概念以圖像的形式表現出來.在展示完這些圖像后，筆者啟發學生觀察和思考這幅圖像中概念的特點是什么，它們之間的關系又是什么.在問題的驅動下，學生對集合的概念進行思考和探索，初步構建了對集合概念的認知，為進一步掌握集合概念和集合表示方法奠定了堅實的基礎.

(二)創設教學情境，協助學生探索，提高教學質量

傳統高中數學課堂教學質量不理想的原因在于學生不能突破重點和難點知識.此外，受抽象思維能力差的影響，學生很難理解重點和難點知識，并進行相關探索.基于幾何畫板在高中數學教學中的應用價值，教師可以圍繞教學內容創設教學情境，讓學生體驗特定場景，發揮主觀能動性，探索知識，掌握重難點知識，提高學習質量.以“直線與平面垂直的判定”一課為例，教師要引導學生總結直線與平面垂直的定義及判定定理.為了突破這一難點，筆者借助幾何畫板進行演示，在幾何畫板中，平面內的兩條直線可以任意轉動，那么平面內的任意直線都可以通過平移成為這兩條直線中的一條，故學生可以從演示中看出，只要與兩條相交直線都垂直就能保證直線垂直于平面，這剛好與判定定理相吻合.這樣的操作使學生帶著問題進行探索，獨立總結直線與平面垂直的定義，突破了學習難點，提高了課堂教學質量.

總而言之，利用幾何畫板開展平面解析幾何教學是對傳統教學方式的一種創新.幾何畫板的作圖和動畫功能能夠極大地幫助學生加深對知識的理解，但是教師在使用的過程中需要結合具體的教學情況提前進行設計，從而達到提高學生思維品質、收到良好教學效果的目標.教師不能脫離實際情況使用幾何畫板，因為不切實際的使用并不能發揮幾何畫板的作用.