例談數學變式在高三習題課中的作用例談數學變式在高三習題課中的作用

◎李 俊

(江蘇省丹陽市珥陵高級中學,江蘇 鎮江 212300)

在高三習題課中，部分教師常常將多做題當作法寶，一味地搞題海戰術.筆者在平時的聽課中做了一個粗略的統計，大部分教師一節數學課準備的題目都在十五道以上，特別是習題課，更加是題目的“海洋”.聽完課后，筆者在與學生的交流中發現，學生對于課堂上“海量”題目的講解有很多困惑：上一題還沒有理解透徹，老師又開始講下一題了；老師講的都懂，但自己再遇到相似問題還是不會……教師經常反映的是：這道題目上課的時候已經講過兩遍了，但再遇到，學生還是會錯，問題究竟出在哪里？是不是每節習題課都需要準備很多題目，講很多例題？筆者覺得這一點值得商榷,并認為如果在習題課上將變式題用得好的話，可以以一當十，事半功倍.

顧明遠在其主編的《教育大辭典》中對“教學變式”進行了詳細的解釋：“教學變式——在教學中使學生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征，以突出事物的本質特征，目的在于使學生了解哪些是事物的本質特征，哪些是事物的非本質特征，從而對一事物形成科學概念．”

在數學課堂教學中，特別是在高三習題課中，為了提高學生的學科核心素養，形成“理性思維、科學精神”“促進個人智力發展”，教師需要改變以往“老師講解多，學生思考少”“一問一答多，師生交流少”“機械記憶多，具體操作少”等現象，和學生一起對數學問題進行多角度、多方位、多層次的討論和思考.而這里的“多角度、多方位、多層次”都可以通過適當的數學變式達成.精彩的數學變式不僅能使學生看到事物的表象，更能讓他們自覺地探索事物的本質，使他們明白即便是高考中的復雜問題，也是由簡單問題轉變而來的，消除學生的思維定式和學習數學的畏難情緒，同時提高學生的數學研究和創新能力，極大提高學生參與課堂的積極性，改變高三習題課“教師一言堂”的不良現象，使學生真正成為課堂教學的主體.

在教學“三角專題復習”第一課時的時候，筆者是這樣設計的.

首先，和學生一起回憶三角函數的基本公式，然后一同總結以往解三角題的過程中所要注意的問題：牢記公式，活用公式，注重技巧，黑板上的板書也要盡量精簡.

其次，開始講解例題.為了熟練記憶公式，筆者從幾個角的變換的題目入手，通過一些恒等變形的問題讓學生熟悉公式，最后通過幾個綜合題提高學生的綜合應用能力.本來這幾個部分至少需要十道左右例題，在審閱題目的時候，筆者發現這些例題雖然各不相同，但使用的方法是有跡可循、層層遞進的，故靈機一動，何不把一道題目進行幾種變形，但同樣使用例題考查的幾種方法呢？這樣既可以大幅度提高課堂的效率，又可以激發學生的求知欲，使他們對知識的印象更加深刻.

課堂片段摘錄如下.

此題為基礎題，主要考查了學生對兩角和的余弦公式和二倍角公式的運用，可以讓學生熟悉基本公式的運用.

這道題給出的已知角比較簡單，但如果給出的角不是簡單角，學生是否會進行相應的變形和運算呢？于是筆者對例題進行了如下變形.

與上一題相比較，本題是將原來的一個要求的結論當作條件，另外一個結論當作所求.

課堂實錄如下.

這樣就變成了和上題一樣的已知，充分體現了化歸的思想.

教師適時表揚，給予學生充分肯定,同時及時小結：要求角，重點要觀察所求角與已知角之間的關系.

同時教師又拋出了一個問題：能不能進一步優化解題步驟呢?

學生在短暫討論后有了思路.

通過變式1，學生掌握了角的簡單變換，同時學生丁提出的方法——整體代換法非常好，一方面方便計算，另一方面為后面的變式提供了解題方向.

于是筆者又提出了變式2.

與變式1比，變式2的已知未變，但所要求的結論變了，所求的角變得更加復雜.

此時學生丁又有了想法.

通過變式1和2，學生對角的變換和整體代換兩種常見的解決三角函數值的方法已經基本掌握.

下面可以從知識點的交匯處進行變形和變式.歷年的高考中，三角和向量聯系得比較緊密，所以筆者又編制了三道與向量相結合的題目.

這三道題都考查了角的變換，其本質就是變式1和變式2的綜合.學生在仔細思考后都能迅速、正確地解決.這樣的變式教學有利于學生多角度地理解概念，有層次地推進數學活動.

本例題考查了角的變換、平移變換等方法，變式之間環環相扣、密切相關，但又不是原來例題的簡單重復——數字的改變或是背景的更換.張奠宙認為,“數學的變式教學就是通過不同的角度、不同的側面、不同的背景從多個方面變更所提供的數學對象的某些內涵以及數學問題的呈現形式,使數學內容的非本質特征時隱時現，而本質特征保持不變的教學形式”.

那么，在高三數學習題課變式教學過程中，教師要注意哪些問題呢？

4.在變化中考查數學素養、數學本質，而不僅僅是數字的改變,這是數學變式的重要因素.由于是高考習題課中的變式，所以三道變式題都沒有簡單地改變某一個數字，讓學生將方法或概念重復訓練，進而內化,更多的是對于角的變換這一數學本質的若干變形.從例題中單角的變換到變式1，2中復角的變換，再到變式3中平移和周期的變換，都在培養學生對數學本質的覺察能力，以及對數學變形的操作能力.

5.好的變式教學不是一題多變、一題多解、一法多用、圖形多變,而是要求學生能夠做到高層次的遷移.所謂高層次的遷移是指思想方法、思維方法、認知結構的遷移，教師在備課的過程中要將這一思想貫穿始終.

對于能夠達到教學目的的變式，筆者稱之為“正向的數學變式”，但有些變式可能對教師所要重點強調的思想方法會起到負面作用，筆者稱之為“負向的數學變式”.教師在數學習題課中要盡量避免“負向的數學變式”.

筆者在聽課的過程中曾經遇到這樣的例子.

例2已知集合A={x|-1≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1},且B是A的子集，求m的范圍.

學生很自然地列出如下的式子：

解得結果為0≤m≤2.

為了強調子集和真子集的區別，教師進行了這樣的變式.

變式已知集合A={x|-1≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1},且B是A的真子集，求m的范圍.

變式與例2相比就加了一個 “真”字，教師的目的很明確，就是想讓學生考慮真子集與子集的區別，真子集時A不能等于B.

學生在教師的暗示下，列出了如下的式子：

其實就是在兩處地方去掉了“等于號”，因此結果就變成了0

剛剛講完，一個學生就站起來提出了疑問：“當m=0或m=2時，B還是A的真子集.因為當m=0時，集合B={x|-1≤x≤1}A，當m=2時，集合B={x|3≤x≤5}A.這是怎么回事？”

由于教師之前并沒有充分準備，因此在這個題目上糾纏了許久，本想通過這個變式區分子集和真子集的初衷也被這個“不成功”的變式破壞.

我們如果對問題進行深入研究的話就會發現，當我們取的B集合是一個區間長度確定的集合，B的區間長度為(2m+1)-(2m-1)=2，而A的區間長度是6，這就意味著：即使B的左(右)端點與A的左(右)端點重合，B也是A的真子集，而不可能等于A.當然，教師也可以對取端點處值的集合進行驗證，看是否為真子集，也能避免考慮不周.所以，數學變式要保證科學性、目的性.

由于破壞了課堂的目的性，我們把例2的變式稱為“負向的數學變式”.

所謂的“負向的數學變式”是指以下這幾類數學變式.

1.科學性上存在爭議，或者雖然沒有科學性錯誤，但存在概念含糊、表述不準確等問題.

2.與原例題沒有關系，“貌合神離”.比如，例1主要是圍繞角的變換展開的，但如果放一個關于解三角形的作為變式，哪怕這個題目再經典，對于例1來講都不是好的變式.

3.思維跳躍太大，與例題所培養的數學素養相關性極小.有些變式題表面上看起來似乎也是例題的延伸，但是細究起來，所考查的數學核心素養與例題相去甚遠.一方面，教師需要花大量的時間引導學生理解，學生也需要花大量的精力去思考；另一方面，這樣的例題對于這節課想要達成的目標沒有正向作用，有的時候反而會起抑制作用，影響課堂目標的達成.

為了課堂教學目標的達成率更高，教師在上課的過程中要避免“負向的數學變式”，這就要在上課之前準備充分，上課遇到問題時要反應機智，妥善處理課堂突發情況.比如，有時教師會在課堂上抄錯題目，出現這種情況的時候，教師要迅速發現是否有必要將之變成新題.比如筆者在上課的時候出了這樣一道題：

已知角α和β，它們的和為30°，差為10°，求它們的正弦值.

筆者在做課件的時候將10°寫成了10，因此原題就變成：

已知角α和β，它們的和為30°，差為10，求它們的正弦值.

題目一打出來就已經發現錯了，本想改過來，但略一思考，發現這確實是一道新題，于是筆者就叫學生先自己思考.剛開始，學生也沒有注意到這里弧度制與角度制的區別，但經過筆者的暗示，有的學生開始大聲說：“不對，一個是角度，一個是弧度.”經過很短的時間，就有學生提出了思路.這樣一來，本來的一道錯題就變成了一道非常好的概念題.當然，出現這樣的錯誤，你也可以向學生道歉后把題目改正，但若發現抄錯后的題目又成為一道好的題目，而且需要思維轉彎幅度較大，此時就可以將錯就錯，臨時解決這道題目，這樣既可以減少在學生面前出錯的情況，又可以培養學生的解題應變能力，使他們能應用基本概念、基本方法解決一般性的問題，培養學生考慮問題的周到性.

在平時的高三復習課上，教師可以從一些簡單的問題入手，然后以此為基礎設計一些有層次、有梯度、要求明確、題型多變的例題、習題，訓練學生不斷探索解題方法，對比解題方法的優劣，從而優化解題路徑，拓展思維的廣闊性；對于一些容易混淆的數學概念、定理、法則，可以從內涵和外延、正面和反面、特殊和一般、本章節和相關章節等各方面進行適當的變式，加大課堂容量的同時，加深學生對數學本質概念的理解.相關性強的變式能促使學生對可能遇到的難題做出客觀的評價，不斷提升學生解決難題的能力.變式訓練稍有成效后，教師就可以動員學生對題目進行變式拓展——學生自己出一些題目，或者學生自己找一些相關題型，這樣將更加有利于學生解題能力的提高和數學素養的提升.顧泠沅在變式教學研究中也建議，可以創造性運用知識技能變式，讓學生自行編擬變式題.

從近年來高考全國卷命題的趨勢來看，現在的高考著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力.考卷對于學生思維的廣度、深度的要求有所提高，試題比較注重對學生探究能力的考查.為了應對高考，在高考復習課中，教師可以通過對典型例題和教材中關鍵性問題的探索，引導學生理解普遍性問題，提升學生解決陌生情境問題的能力.

總之，變式教學操作得當將大大提高教學有效性.