可逆矩陣的教學設計可逆矩陣的教學設計

◎周倩楠 盧 勇

(江蘇師范大學數學與統計學院，江蘇 徐州 221116)

一、引 言

“逆”在《現代漢語詞典(第7版)》中的解釋為：向著相反的方向(跟“順”相對).在數學學科中，我們也經常遇到這個字.如高等數學中映射的逆映射、初等數學中一個命題的逆命題等.當然，我們也學過一些與逆有關的運算.在數的運算中，加法、減法、乘法和除法是四種基本運算，其中，數的減法可以看成加法的逆運算，數的除法可以看成乘法的逆運算.可以看出，逆運算使得數的運算更加完善，有助于我們更深入地研究數的相關性質.在我們學習數學知識的過程中，數的加法、減法、乘法和除法無處不在，每個研究方向都離不開數的四種運算.同樣，對于其他理工學科來說，數的四種基本運算也是基本運算，起著不可或缺的作用.所以說，逆運算不僅在數學中占有重要地位，在其他學科中也具有廣泛的應用.本次課程涉及的知識點主要來源于線性代數.線性代數是數學的一個重要分支，它的研究對象是向量和向量空間(或稱線性空間).線性代數作為高等教育，尤其是高等數學中的一門重要學科，是理工科包括部分文科學生需要學習的一門專業必修課.在線性代數這一學科中也有許多逆運算.矩陣作為線性代數中的重要知識點和常見的工具之一，其運算中是否存在相應的逆運算？這是一個值得我們思考的問題.

本文主要是分析關于可逆矩陣知識點的教學設計.首先，通過簡單問題的引入——數的四種基本運算，引出矩陣的逆矩陣問題.其次，通過與學生互動，不斷引導學生思考，并給出可逆矩陣的相關性質，如唯一性等.最后，給出求可逆矩陣的逆矩陣的方法——伴隨矩陣法，并結合具體例題，運用伴隨矩陣法求解可逆矩陣的逆矩陣.本文結尾結合本節課知識點的特點融入課堂思政，結合目前在校大學生遇到的實際問題和困難傳遞正能量，引導學生不斷努力拼搏，克服逆境和困難，真正做到教書育人，從而使得本次教學內容更加豐富，并具有啟發性.

二、教學過程

(一)問題引入

矩陣作為學習線性代數課程的重要知識點和工具，貫串整個線性代數的學習.矩陣的運算也是我們首先需要考慮的問題.在前面，我們已經學習了矩陣的加法、減法及乘法等運算.其中，矩陣的減法是利用矩陣的加法和負矩陣定義的，因此，可以看成矩陣加法的逆運算.對于矩陣乘法，我們思考：是否可以像數的乘法那樣定義它的逆運算(即除法運算)？這一問題值得我們研究，而這就是矩陣的逆矩陣問題.

我們可以注意到，在矩陣乘法運算中，單位陣E所起的作用與數的乘法運算中的1相當.因此，類似數的倒數，我們提出問題：對于一個矩陣A，是否存在矩陣B，使得AB=BA=E?在不引起歧義的情況下，我們不具體給出單位陣的階數.

由矩陣乘法的定義我們知道，要想討論這一問題，首先必須確保這一式子是有意義的.由AB有意義，我們可以得出A的列數必須等于B的行數.同時由BA有意義，我們可以得出B的列數必須等于A的行數.再由AB=BA，我們可以得出A與B必須是同階方陣.因此，這類問題只能針對方陣來研究，這是我們研究可逆矩陣的前提和基礎.

(二)研究問題

下面，我們具體給出可逆矩陣的概念.

定義1設A是n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=En，則稱矩陣A是可逆矩陣，簡稱A可逆(或非退化)，而B就稱為A的一個逆矩陣，否則就稱矩陣A不可逆(或退化).

根據可逆矩陣的定義，我們知道，要想判斷給定的n階方陣A是否可逆，就要看是否存在一個n階方陣B，使得AB=BA=En，如果存在，則矩陣A可逆；如果不存在，則矩陣A不可逆.

接下來我們思考：類似非零數的倒數，對一個可逆矩陣A而言，它的逆矩陣B是否可以寫成A-1？這一問題將在后面的討論中解決.

那么，我們就需要思考：什么樣的方陣一定可逆？如果可逆，其逆矩陣是否唯一？我們該如何求出可逆矩陣的逆矩陣？下面我們將圍繞這三個問題進行討論，并分別給出回答.

首先，我們看唯一性.

性質1設A是可逆矩陣，則其逆矩陣唯一.

證明思路：假設矩陣A可逆，且B,C是A的任意兩個逆矩陣，則有AB=BA=E及AC=CA=E.為了與矩陣C相聯系，我們可得B=BE=B(AC).注意到矩陣乘法滿足結合律，所以B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.因此，我們知道可逆矩陣的逆矩陣是唯一確定的.

因為可逆矩陣的逆矩陣具有唯一性，為了方便起見，我們將可逆矩陣A的逆矩陣用A加上上標“-1”表示，記作A-1,讀作A逆(這一寫法類似非零數的倒數).

由可逆矩陣的定義，我們還能得到如下一些性質.

性質2若方陣A可逆，則A-1可逆，且有(A-1)-1=A.

性質4若方陣A和B具有相同階數且均可逆，則AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1.

性質2,3和 4可以由可逆矩陣的定義得出，其證明可作為課后作業留給學生.

下面，我們將具體討論如何求一個可逆矩陣的逆矩陣.我們做如下分析：設A=(aij)n×n是一個可逆矩陣，如何求出矩陣B=(bij)n×n，使得AB=BA=E？

目前，我們只能從可逆矩陣的定義出發.由矩陣乘積的定義，我們知道，AB=E可寫成

(1)

其中i,j=1,2,…,n.

根據上式特點，要想通過這樣一組式子求出矩陣B是有困難的，因為通過公式(1)，我們還是求不出矩陣B的元素bij.但是，我們發現，公式(1)與我們之前學過的一個定理類似：依行展開定理.當我們結合依行展開定理

(2)

其中i,j=1,2,…,n，即把(1)式中的bij換成矩陣A的元素aji的代數余子式Aji.通過觀察公式(2)，我們可以將等號左邊看成兩個矩陣乘積的(i,j)元，其中ai1,ai2,…,ain就是矩陣A的第i行元素.而Aj1,Aj2,…,Ajn可以看成一個矩陣的第j列元素.為了方便起見，我們將這個矩陣用A加上上標“*”來表示，記作A*,讀作A的伴隨矩陣.具體寫出來就是

另外，當矩陣A可逆時，有AA-1=E,兩邊同時取行列式，可得|A||A-1|=1，所以|A|≠0.

結合上述分析就有下面的定理：

定理1不僅給出了可逆矩陣的一個充要條件，同時給出了求可逆矩陣的逆矩陣的方法，我們將這一方法稱為伴隨矩陣法.

伴隨矩陣法是我們求一個可逆矩陣的逆矩陣的有效方法，它區別于逆矩陣的定義.當需要求可逆矩陣A的逆矩陣時，不需要找到矩陣B，而通過矩陣A自身即可,即求出矩陣A的行列式及伴隨矩陣.因此,對于伴隨矩陣法，學生需要結合具體例題不斷練習，從而真正掌握這一方法,進而計算可逆矩陣的逆矩陣.

下面，我們結合一個例題具體應用伴隨矩陣法.

例1判別矩陣A是否可逆，如果可逆，求出其逆矩陣.其中

分析要想判別矩陣A是否可逆，結合定理1，需要看其行列式是否不等于0.

通過計算，可得|A|=-1≠0,所以A可逆.

接下來，我們運用伴隨矩陣法求A的逆矩陣.

計算A的伴隨矩陣為A*，得

因此

課后思考：結合例題及求逆矩陣的伴隨矩陣法，我們容易看出，對于一個n階可逆矩陣A，當n比較小時，如例1中的矩陣A，因為A是3階方陣，因此，計算其行列式從而判定其是否可逆的難度不大，同樣，計算A的伴隨矩陣難度也不大，大多數學生都能計算出來.但是，我們在之前學習計算行列式時能夠知道，對于一個給定的n階方陣，當n比較大時，比如一個6階方陣A，用伴隨矩陣法求逆矩陣是比較困難和復雜的.因為我們首先要計算這個6階方陣的行列式，判定其是否為0，如果不為0，我們還需要計算一些5階方陣的行列式，從而得到其對應的伴隨矩陣，這一計算過程比較煩瑣，且計算量較大，很多學生在計算過程中會出現錯誤.因此，我們發現，用伴隨矩陣法計算一個可逆矩陣的逆矩陣要根據給定矩陣的階數來看，如果階數較小，可以考慮使用伴隨矩陣法，如果階數較大，那么就需要運用其他方法進行求解.是否還有其他求可逆矩陣的逆矩陣的方法呢？我們將在下節課與大家一起探討和學習另一種計算可逆矩陣的逆矩陣的方法——初等變換法，建議做好相應的預習和復習工作.

(三)內容小結

本次課程主要講解的知識點是可逆矩陣.首先，通過數的加法、減法、乘法和除法四種基本運算，以及倒數引入了主要問題——可逆矩陣.其次，我們給出了矩陣的逆矩陣的概念,并通過部分特殊矩陣分析了矩陣可逆的相關性質.再次，通過問題引入引導學生得到了可逆矩陣的幾種性質.最后，結合可逆矩陣的定義及依行依列展開定理得到了伴隨矩陣的概念以及求可逆矩陣的逆矩陣的方法——伴隨矩陣法,并結合具體例題運用伴隨矩陣法計算給定矩陣的逆矩陣.在本次課程的最后，我們還留下相關問題，就是當給定矩陣的階數比較大時，運用伴隨矩陣法是否還能求出其逆矩陣，計算量大不大，同時引出下次課程需要學習的內容——初等變換法.

本次課程從簡單問題入手，通過一步步引導，讓學生思考一些常見的問題，并結合學生之前所學知識(數的加法、減法、乘法、除法、倒數問題，以及矩陣的加法、減法和乘法運算)一步步達到教學目的.本次課堂的內容由淺入深，主要目的是啟發學生在學習過程中不斷發現問題、思考問題，從而解決問題.希望通過本次課程的學習，學生能夠掌握可逆矩陣的相關性質，以及求解可逆矩陣的逆矩陣的方法——伴隨矩陣法.

三、課堂思政

本次課程我們主要教學了可逆矩陣和可逆矩陣的逆矩陣的求法——伴隨矩陣法.通過可逆矩陣，我們可以研究類似數的除法的問題.通過學習可逆矩陣，我們能夠發現，逆運算能夠使數學更加完美.學習數學知識能夠鍛煉我們的思維能力，培養我們發現問題、思考問題及解決問題的能力.同時，我們要學會總結學過的知識.

在數學中有逆運算，我們在人生的道路上也會遇到種種逆境與不順.“逆”字也經常出現在我們的生活中，對于很多人來說，人的一生不一定是一帆風順的，生活往往會給我們出一些難題.比如，作為一名大學生，在大學學習和生活中，我們離開了父母，很多事都需要自己去面對，要學習如何和老師與同學相處，還要學習如何不斷適應社會，從而走入社會.很多學生都經歷了線上學習，而線上學習的效果在一定程度上不如線下學習，部分學生在學習過程中產生了抱怨、煩躁的心理.他們會擔心知識點掌握不牢，不能跟老師和同學近距離討論問題，等等，學習的效率和效果都達不到預期目標.這些在一定程度上對于學生來說就是逆境.再如，受疫情的影響，很多畢業生不能正常出去找工作，心理上承受了很大的壓力.但是，這些在逆境中成長的學生會更快適應身邊不斷變化的環境，更快地投入學習，能夠通過回看授課視頻重復學習，查漏補缺，更好地掌握知識點.

當學生走向社會，可能會面臨生活和工作中的其他問題，然而，這些困難和逆境往往能使他們的人生更加完美，因為他們在克服困難的過程中得到了知識，獲得了成長.相信臨近畢業的大學生在回首大學四年的學習生活時，每個人都會有不同的感悟，每個人都有不同的成長.我們也許該感謝這些困難和逆境，因為它磨煉了我們的意志，給予了我們更多的勇氣去面對困難，挑戰困難.所以，不管我們是在求學過程中還是在工作中，遇到困難和逆境都不要氣餒，只要我們堅定信心，勇往直前，不斷克服它們，就終將實現人生的理想和目標，真正成為一個對國家和社會有用的人.