高中數學教學中培養學生數學素養的實踐探索

王巧紅

數學素養是一個抽象的概念，它是受過數學熏陶的人所具有的一種素養，包括數學抽象素養、邏輯推理素養、直觀想象素養、數學運算素養、數學建模素養、數據分析素養等。本文擬就思維的嚴謹性、深刻性和數學核心素養的培養談幾點粗淺看法。

一、數學思維嚴謹性、深刻性的培養

嚴謹性是數學思維的優秀品質。具有了嚴謹性思維，在推理論證以及數學運算中會更加注重邏輯性、嚴密性，既“滴水不漏”又“沒有廢話”。基礎知識的學習與數學思維的嚴謹性密不可分，在概念的形成、命題的推理論證、運算求解、知識體系的形成中都要求具備嚴謹性思維。例如：在函數奇偶性的定義中，有一個隱含的條件是函數的定義域區間必須關于O對稱，在判斷時學生卻往往忽略這一點。那么，在教學中對這種忽略的糾正過程，就是對學生“思維漏洞”的補漏過程，也是對學生數學思維嚴謹性的培養過程。

思維嚴謹性的培養不僅可以在基礎知識的學習中進行，也可以在解決數學綜合問題時進行，并且后者是對思維嚴謹性的強化訓練。比如：橢圓是中心在坐標原點、焦點在橫坐標軸上的橢圓，左焦點F1、右焦點F2，過左焦點的直線l與橢圓交于A、B兩點，橢圓的實半軸長，虛半軸長為1，求向量F2A和向量F2B數量積的最大值。解決這個問題時，要考慮直線l與橫坐標軸垂直和不垂直兩種情況，當垂直時計算得到所求數量積是;當不垂直時，經過計算得到數量積的取值范圍是左閉右開區間[-1，]。在解題過程中，學生容易出現的錯誤是直接設出l的點斜式方程，考慮不到l垂直于橫坐標軸的情況，從而計算出數量積的取值范圍是左閉右開區間[-1，]，出現這樣的結果后就“傻眼”了，原因是它無最大值，明顯是錯誤的;通常情況下，不會出沒有最大值而要求計算最大值的題目。出錯的根源是思維不嚴謹，沒有考慮到垂直于橫坐標軸的情況，而數量積的最大值恰巧就在這種“疏忽”掉的情況下取得，以至于出現了無最大值的局面。解題過程中這種“傻眼”情形能對學生的思維起到震撼并激活的作用，留下的印象難以磨滅，所以，這種“陷阱”式的錯誤是對學生思維嚴謹性的強化訓練。

思維嚴謹性的培養貫穿于整個數學學習過程中，無論是基礎知識的學習還是綜合問題的解決，都是培養嚴謹性思維的路徑，只要堅持訓練，久而久之，學生的思維嚴謹性會逐步形成。

思維的深刻性也是數學思維的優秀品質。思維具有了深刻性，對基礎知識的理解會更加準確，對問題的分析會更加透徹，能夠直截了當地抓住問題的本質，針對問題的本質內容展開思考，使問題得到徹底的解決。

在基礎知識的學習和基本技能的掌握中，能夠培養學生思維的深刻性是毫無疑問的。比如：已知A、B兩點關于直線l對稱，本質意思是線段AB的中點在l上，并且直線AB和直線l是垂直關系。

分析解決數學綜合問題，更能培養訓練學生思維的深刻性，并且是一種強化訓練。比如：解決立體幾何綜合問題時，首先要分析幾何體中的各種位置關系及數量關系，根據這些關系選擇適當的方法解決問題，可選擇純粹的立體幾何法，而在能夠建立空間直角坐標系時也可以選擇空間向量法，把問題轉化成空間向量的計算問題，因為許多立體幾何問題用空間向量的計算方法解決更為方便，可以計算點到直線或平面間的距離、異面直線間的距離、兩條直線所成角的大小、直線與平面所成角以及二面角的大小等。這種分析和轉化的過程就是對思維深刻性的培養。

在基礎知識和基本概念的學習中，引導學生養成準確理解問題的好習慣，在數學綜合問題訓練中，引導學生養成抓本質、抓關鍵的習慣，如此日積月累、循序漸進，學生思維的深刻性水平定會得到大大提高。

二、數學核心素養的培養

數學學習中離不開數學抽象，無論是對數學基礎知識的學習，還是對問題的分析以及解決問題時的推理論證、運算過程，對平面圖形以及空間圖形的直觀想象等都離不開數學抽象，特別是在解決應用問題時，可以說具有數學抽象能力是解決問題所需要的第一項能力，因此數學抽象能力的培養至關重要。

培養數學抽象能力需要一定的載體。數學源于生活又用于生活，無論是基礎知識、基本技能的學習，還是綜合問題的解決都離不開抽象思維，這些都是培養數學抽象能力的載體。特別是以綜合問題為載體，會使學生的數學抽象能力得到強化訓練。高中數學中三角函數與三角形綜合問題、概率與統計的綜合問題、立體幾何綜合問題、數列綜合問題、函數與導數綜合問題、解析幾何綜合問題都是非常重要的綜合問題，以它們為載體進行訓練，會培養出學生很強的數學抽象能力，大幅度提高其數學抽象素養;同時，學生的數形結合、方程、分類討論、化歸與轉化的思想方法也會得到有效訓練，從而大幅度提高學生的數形結合能力、分析轉化能力、數學建模能力、創新能力、空間想象能力、作圖能力、綜合應用能力。

邏輯推理素養是根據已知的條件或命題，進行合理的、有根有據的推理的素養。要提高學生的邏輯推理素養，就要提高其邏輯推理能力，要提高其邏輯推理能力，就要提高其邏輯思維能力，最根本的是要針對學生的數學邏輯思維能力進行嚴格的訓練。

培養邏輯思維也需要一定的載體。數學中所開展的思維活動都是有根有據的、合理的，所以其思維活動都是邏輯思維活動。比如定理、推論的證明過程中，每一步都有根有據;解決問題的表達過程中，除保持思維的嚴謹性即“不多說一句，也不少說一句”外，還要每一步都要有根有據，這就是邏輯思維的訓練。另外，數學運算過程、分析問題的過程、識圖用圖過程等，這些過程中展開的思維也是邏輯思維。這些都是訓練學生邏輯思維的載體，在這些方面對其進行嚴格的訓練，經過持之以恒的努力，能夠培養學生的邏輯思維能力，提高邏輯推理能力和素養。

直觀想象素養是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化的素養。同樣地，直觀想象素養和直觀想象能力成正比例關系。下面僅以立體幾何和解析幾何為載體談談這種能力的培養。

首先，以立體幾何為載體。立體幾何是培養直觀想象能力的重要載體，特別是柱、錐、臺、球、簡單組合體以及它們的三視圖，翻折圖形、幾何體割補后的幾何體，在這幾類幾何體中三棱柱、直三棱柱、長方體、三棱錐、四棱錐、球面、球體、三視圖、翻折圖形、幾何體割補后的幾何體尤其重要。在教學中，開始接觸時可以用模型或通過多媒體展示讓學生直觀地認識這些幾何體，再進一步細致觀察幾何體中的點、線、面以及相互間的位置關系和數量關系，讓學生全方位熟悉這些幾何體，對這些幾何體形成足夠的認識。這些認識是依賴于幾何體的模型或多媒體展示而形成的，其后的學習中，還要使學生脫離這種依賴，讓學生在沒有依賴的情況下想象出幾何體，以及其中的點、線、面之間的關系和數量關系，想象出由這些關系所能推出的關系。對多種幾何體反復進行這樣的訓練，并保持這種思維方式;在三視圖教學中，把幾何體的三視圖還原成原幾何體，再通過幾何體想象出它的三視圖，對多種幾何體也反復進行這樣的訓練，也保持這樣的思維方式;在翻折問題和割補前后的幾何體的教學中，首先掌握翻折前或割補前的圖形及其性質，再看清楚翻折后或割補后的圖形中，哪些是變化了的，哪些是沒有變化的，變化了的變成了什么狀態，把變化了的以及沒有變化的點、線、面之間的位置關系和數量關系想象透徹，同樣對多種翻折問題和割補問題反復進行這樣的訓練，保持這樣的思維方式，假以時日就能夠達到“玩熟”空間圖形的效果，學生也就具有了一定的直觀想象能力，提高了直觀想象素養。

其次，以解析幾何為載體。解析幾何也是培養直觀想象能力的重要載體，特別是直線與圓交匯、直線與圓錐曲線交匯、圓錐曲線與圓錐曲線的交匯問題是更為重要的載體。對其中的直線、圓、圓錐曲線間的相互關系以及數量關系，要分析清楚、了如指掌。既要能直觀想象出圖形中已有的，也要能想象出根據條件求出的圖形在原圖形中的位置情況。對此類交匯問題，進行如前面所述的分析和直觀想象的訓練，只要堅持不懈就能培養學生的直觀想象能力，提高其直觀想象素養，也為進一步解決解析幾何綜合問題提供有力支持。

數學運算素養是運用數學運算法則解決數學問題的素養。數學運算是隨著數學的產生而產生的，數學中每個問題的解決都離不開它，通過準確的運算推理得到正確答案，是數學基本功。

數學運算素養是在運算中形成的。形成運算能力既要有毅力和耐力，對每道題不僅能分析出解題方法，還要能準確快速地運算出結果。解題時運算這一步不能省略，因為它正是形成運算基本功的過程，如果將其省略看似加快了解題速度，實際上卻得不償失，數學運算的基本功將會無法形成;反之，如果認真運算并注意算法的特點，則形成“快、準、狠”的運算能力并非難事，這樣就培養了數學運算能力，提高了數學運算素養。

對實際應用中收集到的大量數據，運用統計方法進行匯總推理、分析研究，總結出符合實際情境的有用信息的過程就是數據分析，這種能力就是數據分析能力，這種素養就是數據分析素養。在實際問題的解決過程中，首先要抽象出數學模型，經過運算得到結果數據，對結果數據進行數據分析，然后做出對實際問題的判斷。

數據分析被廣泛應用于實際問題中，比如對本季度的銷售數據進行分析后，估計出下季度的銷售數據;對某個時間段某地區人民的收入數據進行分析后，估計出該地區人民的收入水平;在購買某類險種的保險時，投保人對上年度的相關數據進行統計，并對這些數據進行數學建模，對運算后的結果進行數據分析，可以作出本年度對這類險種投保與否的決定;對比賽中的某人，根據條件算出這個人勝出的概率，對這個概率進行數據分析，做出這個人能否勝出的推斷;對某地在一段年份內的雨量和植被覆蓋面積的數據進行統計后，建立線性模型，算出線性相關系數，通過對線性相關系數這個數據的分析，對植被面積受雨量的影響情況作出推斷。諸如此類問題不勝枚舉。

從以上分析可以看出，數據分析在解決實際問題中起著關鍵性作用，教學中要努力培養學生的這種能力。數據分析能力的提高需要抽象概括能力、數學建模能力、邏輯推理能力、運算求解能力的支持。

綜上所述，數學學科素養與其相應的能力成正比例關系，要培養數學素養就要從培養相應的能力著手，而能力的培養是慢功夫。因此，立足于教學的各個環節，把培養數學能力當作教學的重要目標進行強化訓練，不急不躁、穩扎穩打，就能夠培養出學生的數學能力，從而提高學生的數學素養。