基于俞正強老師對分數思考的再思考

周揚輝

（浙江省杭州市余杭區杭州二中樹蘭實驗學校,浙江 杭州 311100）

俞正強老師在《“分數的認識”怎么教》這篇文章中認為分數的認識應該由量到率，再對比二者關系。這番思考引發筆者對這節課進行了深思，個人覺得前后兩節課之間沒有必然聯系，第二節課相當于另起爐灶，全新闡述分數的概念，走的是兩條平行線，兩種概念并未相交。筆者認為分數概念的產生一定是基于整體與部分的關系，量與率的概念都應從分物的情境中產出，所以認為本節課應該量率結合同時進行。

一、現狀分析，問題緣起

在小學畢業考試中分數是必考內容，出錯率卻居高不下。在調查中發現一線教師對此塊內容相當重視，在教學中研發各種變式題，歸納解題技巧，可是依然沒有明顯的效果。原因是什么呢？不妨先看他們的問題所在，集中體現為如下兩種題型：①比4 分米多是（）分米。②比4 分米多分米是（）分米。這組題目有很多人出錯，而且呈現出年級越高出錯率越高的趨勢。在本校五六兩個年級中進行抽樣調查發現，五年級的錯誤率在34%左右，六年級的出錯率在45%左右，個別班級數值更高。這就反映出學生對分數表示量與關系的含義混淆，尤其是涉及單位“1”是一些物體時，這種混淆情況更嚴重。

關于上述出現的問題筆者存在兩個困惑，困惑一：學生為什么會出現量率不分的問題？困惑二：為什么問題是暴露在五年級？分數概念的學習是在三年級上冊所處的學齡段進行的，那么兩個學齡段之間有著怎樣的聯系，造成這個問題的根源是什么？

二、追本溯源之教材解讀

原因之一：時間跨度大

人教版把分數知識編排在三個階段：三年級上冊第八單元《分數的初步認識》，五年級下冊第四單元《分數的意義和性質》以及第六單元《分數的加法和減法》，六年級上冊第一單元《分數乘法》以及第三單元《分數的除法》。從縱向的編排來看分數知識的編排時間跨度大，經過兩年的時間學生對分數的知識還保留多少？這對概念體系的形成是很不利的，筆者認為這是問題暴露在五年級的因素之一。

原因之二：知識間呈現斷層

從教材呈現的內容來看，三年級關于分數部分的編寫通過創設分物的情境圖引起學生“分”的實踐活動。通過對單位“1”的平均分，認識并理解這樣的幾分之一的分數。并以此為基礎再進一步認識分數。筆者認為分數由分物產生，但呈現在學生面前的不是分到物品的具體量而是分到的部分和整體之間的關系。接著幾分之一的比較大小也通過圖的比較，其實質也是量的大小的比較。分率和量就這樣混搭著呈現給學生，而且量還是隱晦地呈現。三年級的學生能辨別到這兩種含義嗎？答案是否定的，筆者進行了一次嘗試教學證明了此觀點。

按照教材的編排第一課時直接認識分數關系的含義。后對41 名學生調查，全班無一人知道可以表示個，一致認為分數后面不可以加單位。這就說明量率不分問題的根源，關于分數量的含義未曾構建，學生在三年級形成的分數的概念是片面的。

五年級的《分數的意義》這部分內容由“分數的產生”和“分數的意義”兩部分構成。關于“分數的產生”教材呈現兩幅圖，這兩幅圖揭示了分數產生的需要，這和三年級教材的呈現思路是一樣的，但第二幅圖是人教版教材第一次出現關于分數量的含義：每人分到（）塊月餅、（）包餅干。按照教材的編排，在此之前學生是沒有建構關于量的含義的分數概念，學生不可能靠著這一個情境就建立起分數的完整概念，并且緊接著教材編排的是“分數的意義”，重點在于單位1 的概念的形成，并沒有編排量率區分這塊內容。所以兩個學段之間知識的斷層會導致量率不分的問題在五年級暴露出來。

分數概念建構的不完整才是學生在量率不分的真正原因。所以教學中必須妥善處理好量與率的呈現方式，根據現有教材找到合適的教學策略。

三、分數的教學思考——形成概念體系

經過對三年級和五年級的教材梳理，筆者認為要避免知識間的斷層就必須在三年級的《分數的初步認識》這個單元中構建完整的分數概念，分數量和率的含義必須都要建構。問題是怎樣處理二者的關系呢？俞正強老師認為：關于量與率的混淆，在于對分數完全陌生時的同時呈現。解決之道是讓學生先深刻經歷關于量的分數認識，諗熟之后再經歷關于分率的認識，在此基礎上比較兩個認識的差別，以解決量與分率的混淆問題。筆者認為俞老師的見解一針見血，再一次進行教學實踐。

具體實施過程如下：

第一節課通過三個環節認識作為量的分數。環節一：分一分嘗試用數字表示分的結果，體會分數產生的必要性。環節二：梳理分的過程，用分數表示分的結果。環節三：討論用分數表示餅的大小的規律。本節課中分數一直作為量的表示而存在，目的是讓學生對分數的量的表示印象深刻而充分。本節課之后學生對分數量的概念有了清楚的認識，對用個表示半個，個表示小半個非常認同。

第二節課以“倍”作為認識基礎分數關系的含義。環節一：認識表示兩個量之間關系的分數。環節二：認識表示部分與總體之間關系的分數。環節三：練習。本節課結束之后進行了課后測試，筆者發現學生對兩個物體之間存在倍數關系情況用分數表征的題正確率較高，但對用分數表示整體與部分之間的關系的題錯誤率較高。例如一個圓平均分成8 份，涂出其中的1 份學生會錯誤地用來表示。

第三節課采用俞老師的兩大環節只對材料稍作調整，環節一：對的不同理解，明確分數既可以表示量也可以表示關系。環節二：區別分數表示量還是關系。

本節課后進行了課后測試，發現學生對分數的量與率的區別有了較清楚的認知。但筆者發現很多學生的困惑是：半個是個，為什么2 倍的關系變成了一個是另一個的。經過與專家討論，重新審視這三節課，筆者發現第一節課基于分物而產生的表示量的分數的思路是對的，問題出在第二節課，對于表示關系的分數是基于“倍”的關系而產生的。這和第一課時的思路不相統一，相當于另起爐灶，重新認識一個分數的含義，沒有了像分物時產生分數的必要性，缺乏了二者之間的貫通性。加之本節是以兩種物品之間的倍數關系引入，在無形中學生會先入為主地認為分數可以表征對這樣的兩物之間倍數關系，從而弱化整體與部分的思想，反而起到了負遷移的作用。

面對上述問題筆者思考：在構建分數概念時就必須構建完整的分數概念，量和率的含義必須都呈現。原因有三，其一，時間有限，不能夠像認識整數那樣先量后率。其二，學生的認識規律不同，認識整數時處在具體形象思維階段，而分數的認識這個階段的學生已經有了抽象邏輯思維能力。最后，已有經驗不同，三年級的學生已經有了整數表征量與關系的知識儲備，并且生活中也積累了一些與分數有關的常識。綜合以上三個因素筆者認為分數的認識可以縮短周期，采取一種新的嘗試：

策略一：雙線并行，構建完整概念

分數的概念形成應該貫穿于《分數的初步認識》這個單元的始終，沒有哪一個數學概念是可以通過一節完成的，筆者認為整個單元都應該量率并行構建完整的概念體系。分數產生是用于記錄不完整實物的大小，那么分數的大小也應該是由記錄實物的大小支撐。因此，需要對教材進行適當的調整，需要把教材中分數的簡單應用例題1 提前至緊隨幾分之一之后，目的是希望通過幾分之一的內容幫助學生建立分數兩種含義的表象，再通過分數簡單應用的例題1 實現單位1由1 個物品向多個物品轉化，實現分數的兩種含義的對比，進而辨清量與率的區別。《分數初步認識》教學設計如下：

環節一：分數的產生

分一分

（1）4 塊月餅，分給兩位同學？每人分到多少？怎么分？如果是2 塊月餅呢？

（2）1 塊呢？預設：把一塊月餅平均分成2 半，每人分到半塊。

此環節通過學生熟悉的生活場景，讓學生體會分數產生的必要性。

環節二：探究分數的意義

任務一：理解分數表示量的意義

任務一是認識分數量的含義。設計是基于學生的思維方式進行，而學生通過操作活動可以更加直觀地認識分數。

任務二：理解分數表示關系的含義

小結：像這樣把一樣東西平均分成兩份，取其中的一份，都可以用來表示，在數學中，“半塊”“0.5”“塊”“張”“個”都可以說是原來的。

任務二：幫助學生通過對比觀察概括引申出分數的另一種含義，對關系的表示，也就是人們常說的“率”。學生在分物的情境中進行直觀的抽象概括，學生對表示部分與總體之間關系的分數的認識就比較深刻，也顯得更加水到渠成，讓學生在接觸分數之時就明白分數有兩種不同的含義。

環節三：認識幾分之一、比較大小

創造四分之一，怎么得到的？為什么形狀不同都可以用四分之一表示？

創造幾分之一，這塊月餅還可以怎樣分？

比較大小。

幾分之一的大小比較可以借助實物和面積模型直觀進行比較，在這節課結束之后學生已經對分數的兩種含義有了較全面的認識，沒有出現分數無單位問題，對整體與部分關系表述也很清晰。并設計如下練習題進行鞏固。

策略二：及時對比，辨清量與率

在分數的初步認識這節課之后學生對分數的兩種含義的概念有了初步的感知，這就需要及時深入理解分數。接下來是“分數的簡單應用”的第一個例題的教學。但學生還沒學幾分之幾的內容，所以教師需要對教材的內容進行改編，改編后本節課例題用同一個情境分蘋果。改編一：把第一題改成1 個蘋果平均分成3 份，取一份。第一小題通過回顧再次明確塊蘋果是蘋果的。改編二：第2 題改成6 個蘋果平均分成2份、3 份，6 份取其中一份。在平均分的過程中知道1份蘋果是總數的，是3 個，1 份蘋果是總數的，是2 個……這樣設計是將兩個例題進行對比，突出量與率的區別，加深對分數兩種含義的理解，也順利實現了單位“1”由一個物體自然過渡到一些物體，并設計針對性習題：

策略三：日常滲透，延長認識周期

分數概念的建構集中在三年級上冊完成，教材編排上有4 個學期的空白期，所以教師在教學實踐過程中必須進行日常的滲透，及時鞏固復習。首先，在三年級下冊到五年級上冊這四個學期中教師要有意識地為學生創造運用分數知識的機會，可以把日常的解決問題的數值改編成分數呈現的形式。其次，要思考五年級下冊“分數的意義”如何進行才可以和三年級知識巧妙銜接以形成完整的分數概念體系。在實際訪談中很多教師表示“分數的產生”三年級已經學過，只是量的含義沒有接觸，所以多數教師采取自學和簡單講解結合的形式處理。這顯然不能有效地勾起學生關于分數的記憶，筆者認為這塊內容需添加分數關系的內容，激發學生回憶起原有知識經驗的基礎上再進行分數單位的教學。

四、結語

分數是一個重要的數學概念，分數的學習豐富了數的概念，是小學數學教學中的一個難點。通過對教材的研究和多次的教學嘗試發現分數概念的認識應該雙線并行貫穿始終構建完整的概念體系，只有這樣才能解決學生概念混淆的問題。當然文中所述教法未必是最合適的，還需要教師們在教學實踐中不斷探究思考。