基于分數階憶阻器的混沌電路分析與設計

吳朝俊 ,祁永偉 ,劉 璋 ,楊寧寧

(1.西安工程大學 電子信息學院,陜西 西安 710048;2.西安理工大學 電氣工程學院,陜西 西安 710048)

20 世紀70 年代,由科學家蔡少棠[1]提出了一種描述電荷量與磁通量關系的非線性電路元件(憶阻器),該元件成為了除電阻、電容和電感之外的第四種基本電路元件。自2008 年Hewlett-Packard(HP)實驗室的研究員Strukov 等[2]成功研制出憶阻器實物以后,憶阻器的研究與應用受到了來自不同研究領域專家和學者們的極大關注。目前,憶阻器被廣泛應用到人工智能[3-4]、神經網絡[5-8]、電子芯片[9-10]、混沌電路[11-14]等不同領域中。一般來說,若一個電路端口的伏安特性符合文獻[15]中所描述的三個基本特性,則該器件可以定義為憶阻器。文獻[16]提出了一種由二極管橋級聯一個RC 濾波器的廣義憶阻器,通過利用不同周期激勵下的收縮磁滯回線,對憶阻器的特性進行分析研究。文獻[17]提出了基于二極管橋和串聯RL 濾波器的憶阻電路模型,通過建立相應的數學模型以及實驗驗證,表明該電路模型符合憶阻器的基本特性,為實際的電路設計與應用提供了基礎。

憶阻器具有記憶特性以及非線性特性,因此很適合用于構造具有復雜結構的混沌電路,并且基于憶阻器的混沌電路通常可以表現出相對復雜的動力學特性。例如,文獻[18]提出了一個基于有源憶阻器的最簡單的混沌電路。文獻[19]通過平滑磁通控制型憶阻器代替蔡氏電路中的二極管,構成了新型的憶阻混沌電路。文獻[20]報道了具有無限多個穩定平衡點的四維憶阻混沌電路,并分析了電路中表現出的復雜動力學特性。

過去對于憶阻混沌電路的研究大多都是基于整數階的電路模型,對于分數階憶阻混沌電路的報道較少。而分數階微積分是一種研究任意階次微分與積分算子的數學理論,有關研究表明,分數階微分方程能夠更加準確地描述自然現象,因此將憶阻混沌電路推廣到分數階可以得到更精確的電路模型。

為了研究分數階憶阻器的電路特性,本文建立了一種由二極管橋級聯RLC 濾波器的分數階廣義憶阻器,并對分數階憶阻器的動態特性進行了分析。進一步,在蔡氏振蕩器的電路模型基礎上,將分數階廣義憶阻器模型引入到振蕩器中,并將電路模型中的所有動態器件推廣到分數階次,建立了分數階憶阻混沌電路模型。通過研究電路參數對系統動力學的影響,表明了分數階系統具有復雜的動力學行為。最后,在PSpice 中搭建了分數階憶阻混沌電路的等效電路模型,并進行仿真實驗,實現了基于分數階廣義憶阻器的混沌電路。

1 基于分數階廣義憶阻器的混沌電路

1.1 分數階微積分理論

分數階微分算子的三種常用的定義是Grunwald-Letnikov(GL),Riemann-Liouville(RL)和Caputo 定義。在零初始條件下,Caputo 定義的分數階導數和整數階微分具有相同的形式,并且具有明確的物理意義,適合工程問題的求解,本文的分數階模型都采用Caputo 定義的微分算子。Caputo 定義的分數階導數為:

式中:n表示正整數;t表示時間變量;τ表示積分自變量;q表示分數階階次;表示函數f(t)的q階Caputo 微分算子;f(n)(t)表示f(t)的n階導數;Γ 表示Gamma 函數,它的表示形式為:

Caputo 分數階導數的Laplace 變換可以表示為:

式中:S表示復頻率;k表示正整數變量。

通過式(3)可以看出分數階導數只涉及函數f(t)及其整數階導數的初值。當函數f(t)的初始值為0 時,公式(3)可以簡化為:

1.2 分數階廣義憶阻器模型

文獻[21]提出了一種由電容、電感和二極管橋構成的廣義憶阻器,其電路結構如圖1 所示。從圖1 可以看出,該憶阻器電路由四個二極管、一個電感和一個電容構成。其電路結構簡單,可以用一個電路實現。其中圖1(a)表示憶阻器的電路模型,圖1(b)表示憶阻器的等效符號。

圖1 廣義憶阻器模型Fig.1 Generalized memristive model

實際中的電容和電感都表現為分數階特性,本文在圖1 的廣義憶阻器電路模型基礎上,將電容和電感擴展到分數階次,并且并聯一個電阻與二極管橋電路構成一種分數階廣義憶阻器,其電路等效模型如圖2所示。

圖2 分數階廣義憶阻器模型Fig.2 Fractional-order generalized memristive model

對于圖2 所示的分數階廣義憶阻器電路模型,根據電路原理以及基爾霍夫定律,其數學模型可以表示為:

式中:r=1/(2nVT),其中n和VT分別表示二級管的發射系數和熱電壓;Is表示二極管的反向飽和電流;vin和iin分別表示二極管的輸入電壓和輸入電流。本文將二極管參數設置為Is=2.682 nA,n=1.836,VT=25 mV。

根據上面建立的數學模型,通過Matlab 軟件進行數值仿真,驗證分數階廣義憶阻器的本質特征以及動態特性。這里給定一個正弦激勵信號vin=Vmsin(2 πft),并將分數階電容和電感設置為Lq=170 mH,Cq=4.7 nF,電阻值為R=1000 Ω。當輸入信號的幅值為Vm=1.5 V,頻率分別為500,1000 和2000 Hz 時,可以得到q=0.97 階下憶阻器的緊磁滯回線,如圖3(a)所示。從圖3(a)可以看出,分數階憶阻器上的電壓電流關系軌跡圖是通過原點收縮的回線,并且隨著頻率的增大,緊磁滯回線包圍的面積將變小,當頻率無窮大時,形成一條非線性的單值函數。同樣地,為了驗證分數階次對憶阻器的影響,頻率定為1000 Hz (其他參數不變),繪制出憶阻器在不同分數階次下的緊磁滯回線,如圖3(b)所示。不難發現,分數階階次對憶阻器的動態特性有一定的影響,并且在相同參數下,隨著分數階階次的減小,緊磁滯回線包圍的旁瓣面積會逐漸變大。

圖3 分數階廣義憶阻器的緊磁滯回線Fig.3 Tight hysteresis loop of the fractional-order generalized memristor

1.3 分數階憶阻混沌電路建模

本文采用分數階廣義憶阻器替換掉蔡氏振蕩器中的蔡氏二極管,并且將蔡氏振蕩器中的非線性元件用分數階的電容和電感表示,組合成一種新型的分數階憶阻混沌電路。分數階電路等效模型如圖4 所示。可以發現,該系統中包括七個電路元件,其中分數階元件就有四個,它們分別是兩個分數階電容與、一個分數階電感Lq和一個分數階憶阻器Mq,其他元件為兩個線性電阻和一個負電導。根據圖4,可以寫出分數階憶阻混沌電路的數學模型如下:

圖4 分數階廣義憶阻混沌電路Fig.4 Fractional-order generalized memristor-based chaotic circuit

式中:vc1和vc2分別表示兩個分數階電容和上的電壓;i3表示分數階電感上的電流;vc表示憶阻器負載中的分數階電容Cq上的電壓;iL表示憶阻器負載中的分數階電感Lq上的電流;R表示憶阻器的內阻。

根據上面建立的數學模型,在MATLAB 軟件中對模型進行數值仿真。將系統的參數值設置為電容=0.01 nF,電容=0.1 nF,電感=30 mH,電阻R1=2 Ω,電阻R=1800 Ω,電導G=0.6667 mS,分數階廣義憶阻器的參數保持不變。在系統初始值為(0.1,0.1,0,0,0)的情況下,通過求解系統在階次q=0.97時的數值解,可以繪制出系統的相位圖,如圖5 所示。由相位圖可以看出,分數階系統的運動軌跡具有不確定性,表明系統處于混沌狀態。

圖5 分數階憶阻混沌電路在不同平面上的相位圖Fig.5 Phase diagrams of fractional-order memristor chaotic circuits on different planes

1.4 分數階憶阻混沌電路建模

1.4.1 分數階系統的穩定性

為了研究分數階憶阻混沌電路的動力學行為,這里對系統的穩定性進行分析。首先求解系統的平衡點,將上面系統的方程公式(6)設置為0,通過整理簡化后,則方程組變為如下的形式:

顯然,分數階憶阻混沌電路只有一個平衡點,即Q1=(0,0,0,0,0)。在Q1處的雅可比矩陣為:

這里,通過對Jacobian 矩陣進一步處理,可以得到在平衡點Q1處的特征值為:

可以看出計算得到的特征值有一個正的實根,由分數階系統的穩定性理論[22],可以判斷該平衡點為指數為1 的不穩定的鞍點。

1.4.2 分數階系統的動力學行為

為了研究憶阻器參數對分數階憶阻混沌系統的動力學行為的影響,這里選擇將憶阻器中的分數階電感Lq的值作為變量,當系統的其他參數都不變,分數階電感Lq的參數值從140 mH 增加到200 mH 時,可以得到系統的分岔圖如圖6 所示。

從圖6 可以看出,隨著參數值Lq的改變,系統可以表現出周期和混沌兩種不同的狀態。當分數階電感的值的變化范圍是140 mH

圖6 分數階電感Lq變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram changed with fractional-order inductance Lq

圖7 分數階系統在不同電感Lq 時的相位圖Fig.7 Phase diagrams of fractional-order systems changed with inductance Lq

2 分數階憶阻混沌電路的等效實現

2.1 分數階電感電容的建模

為了實現分數階廣義憶阻混沌電路,需要建立分數階電容和分數階電感的等效電路模型。這里采用樹型結構的分數階模型來等效實現電容和電感,其實現原理主要是通過Oustaloup[23]濾波算法獲得分數階模塊的傳遞函數,然后把傳遞函數化簡為零極點的形式,并且通過電阻和電容或者電感進行串并聯從而等效實現。分數階電容和分數階電感的實際等效電路如圖8所示。

圖8 分數階電容和分數階電感等效實現Fig.8 Equivalent realization of fractional-order capacitor and fractional-order inductor

通過圖8 所示的分數階等效電路模型,分別可以得到分數階電容和分數階電感的等效電路表達式:

在分數階憶阻混沌電路中,根據式(10)和式(11)可以計算出分數階電容和分數階電感的具體參數值。當分數階階次q=0.97 時,通過計算可以得到分數階電感Lq=170 mH,=30 mH 以及分數階電容Cq=4.7 nF,=0.01 nF,=0.1 nF 的等效電路參數值,如表1～4 所示。

表1 q=0.97 時分數階電容的等效電阻參數Tab.1 The equivalent resistance parameter of fractional capacitance at q=0.97

2.2 分數階電路仿真

通過上一節對分數階電容和分數階電感建模,以及對分數階憶阻混沌電路中的電容和電感的求解(具體的數值已列出),本節將通過PSpice 軟件實現對分數階廣義憶阻混沌電路的仿真。在PSpice 軟件中將分數階電容和分數階電感按圖8 中的等效電路模型進行搭建。此外,電路中的二極管選擇型號為IN4148 的二極管,并且將圖4 中的負電導G用一個1500 Ω 的負電阻進行代替。在PSpice 軟件中建立的分數階等效電路模型如圖9 所示,通過電路仿真,可以得到分數階憶阻混沌電路的相位圖如圖10 所示。從仿真結果可以發現,分數階電路仿真的結果與數值仿真的結果基本一致,從而驗證了理論分析的正確性以及分數階憶阻混沌電路的實用性。

圖9 PSpice 中分數階憶阻混沌電路模型Fig.9 Model of fractional-order memristor-based chaotic circuit in PSpice

圖10 PSpice 電路仿真結果Fig.10 Circuit simulation results in PSpice

表2 q=0.97 時分數階電容的等效電容參數Tab.2 The equivalent capacitance parameter of fractional capacitance at q=0.97

表3 q=0.97 時分數階電感的等效電阻參數Tab.3 The equivalent resistance parameter of fractional inductor at q=0.97

表4 q=0.97 時分數階電感的等效電感參數Tab.4 The equivalent inductor parameter of fractional inductor at q=0.97

3 結論

憶阻器作為一種非線性器件,在混沌電路中的應用具有重要的意義。由于分數階微積分對實際電路的描述更加準確,本文提出了一種新型的分數階廣義憶阻器。通過建立分數階憶阻器的數學模型,并在Matlab 中進行數值仿真,對分數階憶阻器的特性進行了驗證分析。然后,結合蔡氏振蕩器,構建了一種基于分數階憶阻器的混沌電路,并將電路中的所有電容與電感推廣到了分數階次。通過改變分數階混沌電路中的系統參數,并結合分岔圖與相圖等,對分數階系統的動力學特性進行了分析。最后,建立了分數階電容與電感的等效電路模型,并在PSpice 中建立了分數階憶阻混沌電路的分數階電路模型。通過電路仿真,得到相應的相圖。電路仿真實驗結果與數值仿真分析基本一致,表明了分數階憶阻混沌電路的可實現性,對實際工程中的設計與應用具有重要的參考意義。