基于L1最小范數(shù)法的波束形成方法參數(shù)研究

毛 錦，孫 健，劉 凱，劉 江

（西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048）

波束形成方法是一種基于傳聲器陣列測(cè)量技術(shù)的聲學(xué)前沿技術(shù)，其利用陣列信號(hào)處理方法對(duì)噪聲源進(jìn)行識(shí)別、定位，并對(duì)空間聲場(chǎng)進(jìn)行可視化處理[1–2]。Donoho、Candès 及華裔數(shù)學(xué)家Tao 等提出并發(fā)展了壓縮感知理論[3–7]，其原理在對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行線性測(cè)量時(shí)，進(jìn)行次數(shù)較少的數(shù)據(jù)測(cè)量，利用重構(gòu)算法精確恢復(fù)原始信號(hào)。將壓縮感知重構(gòu)算法應(yīng)用到波束形成領(lǐng)域，可以準(zhǔn)確識(shí)別聲源的位置，比傳統(tǒng)波束形成技術(shù)更具優(yōu)越性。

一些基于壓縮感知的波束形成方法已經(jīng)被開發(fā)出來，用于聲源識(shí)別問題。Zhong等[8]基于采樣多變量矩陣，假設(shè)空間稀疏和非相干信號(hào)，然后使用模擬和氣動(dòng)聲學(xué)測(cè)量進(jìn)行檢驗(yàn)，開發(fā)了一種壓抑感測(cè)波束形成方法CSB-II（Compressive sensing beamforming method）。仿真結(jié)果表明，所提出的CSB-II方法對(duì)傳感噪聲具有高魯棒性。此外對(duì)起落架模型的氣動(dòng)聲學(xué)測(cè)試中分辨率和旁瓣抑制方面具有良好性能。Wei等[9]將壓縮感知擴(kuò)展到陣列波束形成應(yīng)用，假設(shè)空間稀疏且稀疏的聲源，提出了兩種算法CSB-I和CSB-II。使用模擬和氣動(dòng)聲學(xué)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證兩種算法。仿真實(shí)例表明，CSB-I算法受傳感噪聲影響較大，CSB-II算法對(duì)于噪聲測(cè)量更具魯棒性。此外，飛機(jī)模型的氣動(dòng)聲學(xué)測(cè)試證明了CSB-II算法在分辨率和旁瓣抑制方面具有更好的效果。時(shí)潔等[10]針對(duì)噪聲源近場(chǎng)定位識(shí)別問題，利用聲源分布在空間域具有稀疏性的特性，在壓縮感知理論框架下建立了新體系的矢量陣聚焦波束形成方法，用于解決同頻相干聲源的定位識(shí)別問題。新方法可在小快拍下準(zhǔn)確獲得噪聲源的空間位置，且不損失對(duì)噪聲源貢獻(xiàn)相對(duì)大小的評(píng)價(jià)能力。通過詳細(xì)的理論推導(dǎo)、仿真分析和試驗(yàn)驗(yàn)證，證明了基于壓縮感知的矢量陣聚焦定位新方法本質(zhì)上實(shí)現(xiàn)了L1 范數(shù)正則化求解下的波形恢復(fù)和空間譜估計(jì)，因此具有較高的定位精度、較強(qiáng)的相干聲源分辨能力、準(zhǔn)確的聲源貢獻(xiàn)相對(duì)大小評(píng)價(jià)能力以及較高的背景壓制能力，可應(yīng)用于水下復(fù)雜噪聲源的定位識(shí)別。

利用L1范數(shù)法求解波束形成，既提高了波束形成方法的識(shí)別精度，又縮短了算法的運(yùn)行時(shí)間。但由于L1范數(shù)法中約束參數(shù)需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取值，選取難度大，且需經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間的試值才能取到合適的值。為解決此問題，建立聲源識(shí)別模型，對(duì)基于L1最小范數(shù)法的波束成形方法進(jìn)行詳細(xì)的理論推導(dǎo)，分析不同聲源距，聲源頻率，信噪比和陣列孔徑對(duì)約束參數(shù)的取值影響。

1 理論分析

1.1 延時(shí)求和波束形成

延時(shí)求和波束形成就是選擇不同的加權(quán)矢量，通過延遲操作處理每個(gè)麥克風(fēng)陣列元件所測(cè)量的信號(hào)，以補(bǔ)償每個(gè)陣列元件的傳播延遲，并且使聲源信號(hào)到達(dá)麥克風(fēng)陣列方向相同，產(chǎn)生空間響應(yīng)的最大值，從而實(shí)現(xiàn)聲源的定位功能。式（1）為延時(shí)求和波束形成的表達(dá)式：

其中：B(jω)是波束成形的輸出，ωm是各個(gè)麥克風(fēng)信號(hào)的一組加權(quán)系數(shù)，M是麥克風(fēng)的數(shù)量，k是平面波入射的波數(shù)矢量，rm是第m號(hào)傳感器到聲源點(diǎn)的距離。Pm(ω)是第m號(hào)傳聲器測(cè)量聲壓：

其中：P0是聲源的聲壓，k0是入射方向與聚焦方向不同的平面波波數(shù)矢量。

將式（2）代入式（1），可得：

考慮多聲源和噪聲干擾的情況，式（3）可轉(zhuǎn)化為：

其中：Bi是第i個(gè)傳感器的測(cè)量值；Wik是第i個(gè)傳感器和第k個(gè)聲源之間的轉(zhuǎn)向矩陣；Pk是第k個(gè)聚焦點(diǎn)的聲源信息，Ni數(shù)據(jù)采集期間的外部干擾和電子噪聲。

簡(jiǎn)化方程（4）可得：

其中：W∈?M×N是轉(zhuǎn)向矢量矩陣；P∈N×1是聲源信息向量；N∈M×1是噪聲信息向量。

1.2 壓縮感知重構(gòu)算法

壓縮感知理論打破了奈奎斯特采樣定理，有效地彌補(bǔ)了傳統(tǒng)采樣定理在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用問題，使得信號(hào)在采集、傳輸及儲(chǔ)存方面的壓力大大減輕。壓縮感知的原理主要由3 部分組成，首先是將所采集的信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，其次是構(gòu)建出合適的感知矩陣，最后是能夠恢復(fù)稀疏信號(hào)。信號(hào)重構(gòu)算法是壓縮感知理論的核心，是指由長(zhǎng)度為M的測(cè)量向量y重構(gòu)長(zhǎng)度為N(M?N)的稀疏信號(hào)x的過程。目前求最優(yōu)解的常用算法包含最小L1 范數(shù)法[11–12]、貪婪算法[13–14]和迭代閾值[15–16]等。

信號(hào)的重構(gòu)過程最早采用傳統(tǒng)的L2 范數(shù)作為約束，利用此方法雖然能夠得到這個(gè)優(yōu)化問題的通解，但這個(gè)通解并不是我們所求的稀疏解。為得到優(yōu)化問題的稀疏解，采用最小L0 范數(shù)來代替L2 范數(shù)，如式（6）所示：

其中：x是所求信號(hào)；?是感知矩陣；y是測(cè)量數(shù)據(jù)；ε是約束參數(shù)；‖·‖i表示i范數(shù)。

利用L0范數(shù)法求解最優(yōu)化問題，具有一定的復(fù)雜性和不穩(wěn)定性，為避免L0范數(shù)法求解所帶來的弊端，故采用L1范數(shù)法求解來代替L0范數(shù)法求解，得到另一種最優(yōu)化方法L1 凸優(yōu)化。通過范數(shù)最小化將稀疏信號(hào)表示問題定義為一類有約束的優(yōu)化問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解，該方法的原理是在每一次的迭代過程中，尋找到最佳的匹配原子基。如果考慮重構(gòu)誤差，上述問題可以轉(zhuǎn)化為最小L1范數(shù)問題，如式（7）所示：

2 模型建立

建立聲源識(shí)別測(cè)量模型。如圖1所示，聲源面XOZ中分布了k個(gè)相干聲源，測(cè)量平面X′O′Z′內(nèi)分布M個(gè)傳感器測(cè)量陣列。聲源信號(hào)是自然的空間稀疏信號(hào)，將聲源面劃分為N(M?N)個(gè)空間網(wǎng)格，聲源信號(hào)與其空間位置一一對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)聲源信號(hào)的稀疏表示。

圖1 聲源識(shí)別測(cè)量模型

將壓縮感知重構(gòu)算法的思想應(yīng)用于波束形成方法的求解，利用測(cè)量平面X′O′Z′中M個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)重構(gòu)出聲源面XOZ中N個(gè)空間網(wǎng)格的聲壓信號(hào)。將L1范數(shù)法應(yīng)用到延時(shí)求和波束形成方法中求解，即利用式（7）求解式（5），結(jié)果如式（8）：

本文采用CVX工具箱進(jìn)行求解。

采用L1范數(shù)法求解波束形成方法，不僅能提高波束形成方法的識(shí)別精度，也能縮短算法的運(yùn)行時(shí)間。

3 數(shù)值仿真

3.1 算法性能

為驗(yàn)證基于L1 范數(shù)法的波束形成方法聲源識(shí)別性能，利用MATLAB軟件對(duì)函數(shù)波束形成方法和基于L1范數(shù)法的波束形成方法進(jìn)行對(duì)比仿真分析。對(duì)不同頻率的單極子聲源進(jìn)行仿真，聲源平面大小為1 m×1 m，將聲源平面離散成點(diǎn)間距為0.012 5 m大小的離散平面，在聲源平面內(nèi)布置單極子聲源，位置坐標(biāo)為（-0.3，0，1）m，單極子聲源有效聲壓為100 dB。在距聲源平面1 m 處設(shè)置測(cè)量平面，測(cè)量面上布置7×7的正方形傳聲器陣列，間距為0.1 m。

分別繪制基于L1范數(shù)法的波束形成和文獻(xiàn)[17]提出的函數(shù)波束形成算法在聲源平面上的聲壓強(qiáng)度分布圖。其中函數(shù)波束形成階次取8。聲源成像結(jié)果如圖2所示。

圖2可知兩種聲源識(shí)別方法均能夠識(shí)別出目標(biāo)聲源，對(duì)比圖2（a）和（b），1 500 Hz時(shí)，相對(duì)于函數(shù)波束形成，基于L1范數(shù)法的波束形成方法在抑制旁瓣的基礎(chǔ)上縮減了主瓣寬度，提高了聲源識(shí)別的精度，說明基于L1 范數(shù)法的波束形成方法在聲源識(shí)別過程中具有較高的識(shí)別精度和良好的分辨率。

圖2 聲源識(shí)仿真圖

分別統(tǒng)計(jì)函數(shù)波束形成方法和最小L1 范數(shù)法波束形成在精準(zhǔn)定位前提下不同頻率的運(yùn)行時(shí)間，如表1所示。

表1 不同頻率下兩種算法運(yùn)行時(shí)間表單位：t/s

結(jié)果表明最小L1 范數(shù)法比函數(shù)波束形成求解方法可以節(jié)約45%～65%的運(yùn)行時(shí)間。

3.2 信噪比與約束參數(shù)的關(guān)系

研究信噪比與基于L1 范數(shù)法波束形成方法參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)定傳感器陣列為7×7 均勻陣列，信噪比設(shè)定為0 dB、10 dB、20 dB、30 dB和40 dB，聲源距離設(shè)定為1 m，聲頻率設(shè)定為500 Hz、1 000 Hz、1 500 Hz、2 000 Hz、2 500 Hz、3 000 Hz、3 500 Hz時(shí)，研究約束參數(shù)ε在不同信噪比和不同聲源頻率取值情況下的變化趨勢(shì)。

圖3所示為在精準(zhǔn)定位時(shí)，不同信噪比下，隨著聲源頻率的增加，約束參數(shù)的變化趨勢(shì)。在信噪比相同的情況下，約束參數(shù)隨著頻率的增加而緩慢增加；相同的源頻率下，信噪比越大，約束參數(shù)越小。信噪比在0 dB 到10 dB 之間時(shí)，聲源頻率變化導(dǎo)致約束參數(shù)變化范圍較大，信噪比在15 dB到40 dB范圍內(nèi)，聲源頻率變化導(dǎo)致約束參數(shù)變化范圍較小，取值集中，選擇難度不大。

圖3 約束參數(shù)與信噪比關(guān)系圖

3.3 聲源距離與約束參數(shù)的關(guān)系

研究聲源距離與基于L1 范數(shù)法波束形成方法參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)定傳感器陣列為7×7均勻陣列，信噪比設(shè)定為0 dB，聲源距離設(shè)定為1 m，聲源距離設(shè)定為0.2 m 到1 m，間隔為0.1 m，聲源頻率設(shè)置為500 Hz、1 500 Hz、2 500 Hz 和3 500 Hz，研究不同聲源距離和不同聲源頻率下約束參數(shù)ε之間的關(guān)系。

圖4所示為在精準(zhǔn)定位時(shí)，不同聲源距離下，隨著聲源頻率的增加，約束參數(shù)的變化趨勢(shì)。對(duì)于相同的聲源頻率，約束參數(shù)隨著聲源距離的增加而減小；對(duì)于相同的聲源距離，隨著聲源頻率的增加，約束參數(shù)趨于變小。當(dāng)聲源距離在0.5 m以內(nèi)時(shí)，約束參數(shù)的值波動(dòng)很大。使用L1 規(guī)范波束形成方法進(jìn)行聲源識(shí)別時(shí)，應(yīng)將目標(biāo)聲源與測(cè)量陣列之間的距離設(shè)置為大于0.5 m。聲源頻率變化導(dǎo)致約束參數(shù)的變化范圍較小，取值較為集中。

圖4 聲源距離與約束參數(shù)關(guān)系圖

3.4 陣列孔徑與約束參數(shù)的關(guān)系

研究陣列孔徑與基于L1 范數(shù)法波束形成方法參數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)定信噪比為0 dB，聲源距離為1 m，傳聲器陣列陣元分別設(shè)置為8×8、7×7、6×6 和5×5 均勻陣列對(duì)目標(biāo)聲源進(jìn)行測(cè)量，研究約束參數(shù)在不同陣元數(shù)目和不同聲源頻率的變化趨勢(shì)。

圖5顯示了在精確定位過程中，不同聲源頻率下，隨著陣列數(shù)目的變化，約束參數(shù)的變化趨勢(shì)。對(duì)于相同數(shù)量的陣列，約束參數(shù)隨著聲源頻率的增加而緩慢增加，對(duì)于相同數(shù)量的聲源頻率，約束參數(shù)趨于隨著陣列數(shù)量的增加而變小。當(dāng)使用L1 范數(shù)波束成形方法進(jìn)行聲源識(shí)別時(shí)，應(yīng)選擇陣元數(shù)目為49的測(cè)量陣列，增加陣列的數(shù)量，約束參數(shù)變化趨勢(shì)并不明顯，增加成本；減少數(shù)陣列數(shù)量，聲源頻率變化導(dǎo)致約束參數(shù)變化范圍較大，難以取值。

圖5 陣列數(shù)目與約束參數(shù)變化圖

4 結(jié)語

本文建立了壓縮感測(cè)波束形成的聲源測(cè)量模型，并對(duì)該方法進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)，結(jié)合MATLAB數(shù)值仿真，結(jié)果表明：基于L1 最小范數(shù)的波束形成方法具有比傳統(tǒng)波束形成方法更高的識(shí)別精度、分辨率和更短的運(yùn)行時(shí)間。使用L1 范數(shù)波束成形方法進(jìn)行聲源識(shí)別時(shí)，信噪比選取范圍為10到40 dB，測(cè)量距離應(yīng)大于0.5 m，測(cè)量陣列選取49陣元陣列，約束參數(shù)的變化范圍小，取值較為容易。為基于L1范數(shù)法波束形成方法的參數(shù)選取提供了參考，減小了參數(shù)選取過程中的困難，為算法研究提供便利。