分數階平流-擴散方程的隱式有限差分格式的穩定性分析

丁志清

(東莞理工學院城市學院，廣東 東莞 523419)

分數階導數的定義有幾種：Grunwald-Letnikov(G-L)分數階導數、Riemann-Liouville(R-L)分數階導數、Caputo分數階導數、Riesz分數階導數以及Riesz-Feller(R-F)分數階導數。分數階微分方程包括分數階常微分方程和分數階偏微分方程。分數階偏微分方程又分時間分數階偏微分方程(時間導數是分數階導數)，空間分數階偏微分方程(空間導數是分數階導數)以及空間時間分數階偏微分方程(時間和空間導數均是分數階導數)三大類。從實際問題背景中可以抽象出分數階微分方程。Benson等人在討論Levy運動時分別提出了分數階Fokker-Planck方程和空間分數階對流-擴散方程，通過與實驗數據對比證實了用分數階方程模擬Levy運動確實有很好的近似，并指出分數階對流-擴散方程能更精確地模擬具有長尾性態的溶質運動過程。Chumer等人在研究多孔介質中溶質傳輸的Eulerian估計時，用分數階Fick定律代替傳統的Fick定律得到分數階對流-擴散方程。

對于分數階微分方程的解析解的求解主要有兩種，一是積分變換及其逆變換方法，主要的積分變換方法有Laplace變換、Fourier變換和Mellin變換。二是分離變量法，其解析解的形式通常是用Green函數的卷積形式或用特殊函數的級數形式來表示。Liu等人考慮了時間分數階對流-擴散方程，利用Mellin和Laplace變換得到了方程的基本解，其表達式是一個Fox函數，Huang和Liu考慮了空間-時間分數階對流-擴散方程的解析解。

對于一般的分數階微分方程，如變系數微分方程，無法求出其解析解，有些方程的解析解大都含有特殊函數，很難近似計算出來，故研究分數階微分方程的數值解非常重要。近年來，反常擴散現象引起了人們的極大關注，廣泛出現在等離子體、核磁共振、湍流、分形多孔介質、滲透媒介以及某些不純介質中。正常擴散粒子的運動為布朗運動，本質上是一種馬爾可夫局域性的運動，而對于反常擴散則是非馬爾可夫非局域性的運動，為描述這種非局部擴散現象，需要用分數階擴散(反應-擴散，對流-擴散)方程來代替整數階擴散(反應-擴散，對流-擴散)方程。

本文考慮下列分數階平流-擴散方程(FDAE)的初邊值問題

(1)

u(x,t=0)=g(x)

(2)

u(0,t)=φ(t),u(Q,t)=φ(t)

(3)

方程(1)描述了粒子的反常擴散現象，文獻[1]中給出了方程的隱式有限差分格式

(4)

對隱式有限差分格式(4)，利用Fouier分析方法進行穩定性分析。

設時間步長τ和空間步長h比值滿足一致有界性，令cn和un是差分方程(4)的兩個解。

(5)

其中i=1,2,…,m-1,k=0,1,…,n-1.

(6)

將εk(x)在x∈[0,Q]上展開成Fourier級數：

(7)

(8)

(9)

引理1 設ρk(k=1,…,n)是(9)的解，則存在常數M>0，使得|ρk|≤eM(k-1)τ|ρ0|。

證明：采用數學歸納法。

當ω=0時，則μ=0，結論顯然成立。

假設|ρj|≤eM(j-1)τ|ρ0|(j=1,2,…,k-1).則有

≤eMτeM(k-2)τ|ρ0|=eM(k-1)τ|ρ0|.

定理1 隱式有限差分方法(4)是無條件穩定的。

證明：由于(k-1)τ≤T,由引理1可得|ρk|≤eM(k-1)τ≤eMT|ρ0|≤K|ρ0|.

根據上式以及(8)式，得‖εk‖L2≤K‖ε0‖L2,k=1,2,…,n.即(6)式成立，從而隱式有限差分方法無條件穩定。