一類向量組線性相關性的判定方法探究

尹修偉，宋賢梅

(安徽師范大學數學與統計學院，安徽 蕪湖 241000)

向量組的線性相關性是線性代數教學中的重難點內容，它與矩陣、線性方程組緊密相關，是研究齊次線性方程組的基礎解系、非齊次線性方程組解的結構的基礎、線性空間的內積結構的重要工具，為解析幾何、泛函分析等抽象內容的學習提供了直觀的例子。對于大一年級的初學者來說，不太容易理解和掌握相關定義和判定方法，具體應用時容易混淆向量的維數、向量組的個數與向量組的秩之間的區別和聯系。本研究將針對線性相關性進行介紹和總結分析，為線性代數初學者提供幫助。

1 向量組線性相關性的定義與判定方法

定義1[1]：給定由n維向量構成的向量組A:a1,a2,…,am，如果存在不全為零的常數k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0，則稱向量組A:a1,a2,…,am是線性相關的，否則稱之為線性無關。

由定義1可知，向量組A:a1,a2,…,am線性相關等價于向量組A中至少有一個向量可以由其他向量線性表示，但直接用定義1判定給定向量組的線性相關性有時不是很容易。考慮由向量組A:a1,a2,…,am構成的矩陣A=(a1,a2,…,am)，根據上述定義可知，向量組A線性相關就是齊次線性方程組Ax=0有非零解，從而根據線性方程組解的存在性定理可以得到以下向量組線性相關性的判定定理：

定理1[1]：向量組A:a1,a2,…,am線性相關的充分必要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩R(A)

如果m=n，在定理1中矩陣A為n階方陣，則有以下推論：

推論1[2]：給定向量組A:a1,a2,…,an，其中ai=(ai1,ai2,…,ain)T，i=1,…,n,則向量組A:a1,a2,…,an線性相關當且僅當矩陣A=(a1,a2,…,an)的行列式為零。

接下來舉例說明定理1與推論1的一些應用。

例1：討論向量組a1=(1,2,-1)T,a2=(2,-3,1)T,a3=(4,1,-1)T的線性相關性。

解：令A=(a1,a2,a3)，對A作初等行變換得

因此，R(A)=2，根據定理1知向量組a1,a2,a3線性相關。也可通過先計算矩陣A的行列式，再根據推論1得出向量組a1,a2,a3的線性相關性。

上例中向量組的分量事先已知，可以直接利用定理1或推論1來求解，但對于分量未知的向量組的線性相關性問題，一般無法直接求出對應矩陣的秩，很難直接利用定理1或推論1來求解，考慮文獻[1]中的一個例子。

例2：已知向量組a1,a2,a3線性無關，設b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1，求證：向量組b1,b2,b3線性無關。

證明：向量b1,b2,b3是未知的，直接求矩陣(b1,b2,b3)的秩比較困難，但可以結合線性無關性的定義或線性方程組來求解，文獻[1]提供了三種證明方法，此處回顧其中兩種。

法1：設存在實數x1,x2,x3，使得x1b1+x2b2+x3b3=0成立，由題意有

(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0,

由于向量組a1,a2,a3線性無關，根據定義1可得

解方程組得x1=x2=x3=0，根據定義1知向量組b1,b2,b3線性無關。

在例1中取單位坐標向量組e1=(1,0,0)T，e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T，則有

這說明例1與例2都可以歸結為一類問題：

已知由n維向量構成的向量組A:a1,a2,…,am，此外，假定向量組B:b1,b2,…,br可以由向量組A線性表示為(b1,b2,…,br)=(a1,a2,…,am)Km×r，并記作B=AK，根據矩陣Km×r來判斷向量組B:b1,b2,…,br的線性相關性。

對于這類問題，總結出以下結論：

定理3：設R(Km×r)

證明：(1)若R(Km×r)

由定理3的證明過程可以得到下述推論：

推論2：給定向量組A:a1,a2,…,am與B:b1,b2,…,br，且B=AKm×r，則向量組B可由向量組A線性表示，進一步，如果還有m=r，且|K|≠0，則向量組A與向量組B等價。

由文獻[1]84頁的推論可得，向量組A，B等價的充要條件為R(A)=R(A,B)=R(B)，同理，此條件只針對向量組的分量已知的情形。對于分量未知的情形來說，當兩個向量組的向量個數一致時，推論2提供了一種等價性的判定方法。

例3：設b1=a1,b2=a1+a2,…,br=a1+a2+…+ar，向量組a1,a2,…,ar線性無關，求證：向量組b1,b2,…,br線性無關。

2 結語

本研究介紹了向量組線性相關性的基本概念和判定方法，如果向量組的分量是已知的，則判定向量組線性相關性較為簡單。如果向量組的分量沒有具體給出，本研究針對一類特殊問題，根據線性方程組解的性質總結了這類向量組線性相關性的判定方法，此方法相較于基于定義的方法使用時更方便，同時也總結了向量組等價性的一個判定方法。