傅里葉變換與離散傅里葉變換相結合的信號譜分析教學新方法探討

劉 威，呂 潔

(金陵科技學院 網絡與通信工程學院，南京 211169)

信號的譜分析是信號與系統和數字信號處理課程中的重點內容。前者針對時域模擬信號，常采用傅里葉變換(Fourier Transform，FT)得到信號譜的解析結果。后者針對時域離散信號，常采用離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)得到信號譜的測量結果。學生在學習這些知識點時，常孤立地看待FT和DFT，對二者之間的關系理解不深。鑒于此，提出了一種譜分析教學方法。分析了模擬角頻率和數字角頻率的關系，從理論上推導出在頻域上對FT的結果進行采樣后，得到的傅里葉變換幅值是離散傅里葉變換幅值的Ts倍。以一個指數型衰減時域信號為例，通過仿真實驗，驗證了上述結論。實驗結果顯示，隨著樣本點的增加，經過修正后的離散傅里葉變換幅值與頻域解析信號的幅值一致。說明DFT和FT是密切相關的，采用DFT的結果去測量信號頻譜的理論值是合理的。

1 模擬信號與數字信號的傅里葉變換

1.1 信號的傅里葉變換

對于模擬信號x(t)，其FT為：

(1)

其中，Ω是模擬角頻率，單位為rad/s。當對模擬信號x(t)進行時域采樣后，可以得到離散數字序列x(n)?x(nTs)。其中，Ts為采樣周期，t=nTs，n=0,1,…。此時，fs=1/Ts為采樣頻率，x(n)的DFT為：

(2)

DFT的計算復雜度較高，在實際應用中，為了降低計算復雜度，常采用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，FFT)來得到DFT的結果。

1.2 模擬角頻率與數字角頻率

在模擬信號的頻譜分析中，f是模擬頻率(單位為Hz或s-1)，Ω是模擬角頻率(單位rad/s)。比如：某個模擬信號為x(t)=sin(Ωt)，其中Ω=2πf。當對模擬信號進行時域采樣后，這時x(t)就變成：

x(n)=sin(ΩnTs)=sin(Ωn/fs)

(3)

若定義數字角頻率ω?ΩTs，則：

x(n)=sin(ωn)

(4)

此時，ω=ΩTs=2πf/fs。ω也稱為數字頻率，它是一個相對頻率，單位為rad。在DFT中，由于f∈[-fs/2,fs/2]，因此ω∈[-π,π]。對于一個N點的DFT，若定義頻率間隔為Δω?2π/N，則各個離散頻點的角頻率為：

ωk=kΔω=2πk/N，k=-N/2+1,…,-1,0,1,…,N/2

(5)

相對應地，各個頻點的模擬角頻率為：

Ωk=2πk/(NTs),k=-N/2+1,…,-1,0,1,…,N/2

(6)

1.3 FT與DFT之間的關系

將式帶入式，可以得到模擬頻譜X(jΩ)頻域采樣值，將積分寫成級數形式，可以得到：

=Ts·X(k)

(7)

上式表明，FT的幅值是DFT幅值的Ts倍，這說明可以利用DFT的結果來表示原始信號的頻譜，但不是所有的模擬信號都有解析頻譜值，所以直接分析信號的頻譜不一定可行。可以根據上面的結論，間接地采用DFT的頻譜來代替原始信號的頻譜。

2 實驗結果及分析

2.1 時域信號

以指數衰減信號x(t)=Ae-atu(t)為例，其中Re{a}>0，則其FT為X(jΩ)=A/(a+jΩ)。本實驗設定的參數值為A=2，a=3，則時域信號為：

x(t)=2e-3tu(t)

(8)

頻域信號為

X(jΩ)=2/(3+jΩ)

(9)

2.2 Matlab仿真流程圖與代碼設計

為了驗證結論，采用Matlab 2019b作為仿真平臺，仿真流程圖如圖1所示。本仿真共有四步：第一步是設置采樣的樣本點數量。采用了N=32，N=64，N=128三種參數。第二步是計算模擬信號FT結果的頻域采樣值。第三步是利用Matlab自帶的fft()函數，計算離散時間信號的DFT結果。第四步是采用繪圖的形式，比較FT和DFT結果。

圖1 Matlab仿真流程圖Fig.1 Flow chart of Matlab simulation

根據圖1的流程圖，設計了本次仿真的代碼，如表1所示。

表1 Matlab仿真的代碼Tab.1 Code of Matlab simulation

2.3 仿真結果與分析

仿真結果如圖2所示。

圖2 FT與DFT幅度譜結果的比較Fig.2 Comparison of FT and DFT magnitude spectra results

采用了N=32，N=64，N=128三種參數，用于觀察DFT與FT幅度譜隨樣本點個數增加而變化的情況。從圖中可以看出，當N=32時，DFT與FT的幅度譜趨勢基本一致，但是樣本點的值存在顯著差異。當N=64時，DFT與FT幅度譜的樣本值差異減小且在高頻部分基本一致，低頻部分差異性稍大。當N=128時，DFT與FT幅度譜的樣本值差異進一步減小且在低頻部分和高頻部分都基本一致。這說明當樣本點逐漸變大時，DFT與FT幅度譜的樣本值趨于一致，呈現出收斂的特性。因此，可以采用DFT的幅度譜來近似代替FT的幅度譜。

3 結論

提出了一種將傅里葉變換與離散傅里葉變換者相結合的頻譜分析教學新方法。介紹了模擬角頻率與數字角頻率的區別與聯系，推導出了傅里葉變換與離散傅里葉變換的關系，即頻域采樣后得到的傅里葉變換幅值是離散傅里葉變換幅值的Ts倍(Ts為采樣間隔)。通過仿真實驗，比較了信號頻域幅度譜的解析值與離散傅里葉變換幅度譜的結果。實驗結果表明，經過變換修正后的離散傅里葉變換幅值與頻域解析信號的幅值一致。這說明了DFT和FT是密切相關的，采用DFT的結果去測量信號頻譜的理論值是合理的。