正弦行波激勵(lì)下單層偏心框架結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的解析解

劉鐵林，楊 越，李文博

（沈陽(yáng)建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110168）

引言

建筑結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)破壞是一種常見(jiàn)的震害形式。針對(duì)建筑結(jié)構(gòu)地震扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題，學(xué)者已經(jīng)開(kāi)展了許多研究工作。一些學(xué)者研究了一致激勵(lì)偏心框架及框剪結(jié)構(gòu)的彈性扭轉(zhuǎn)［1-4］和彈塑性扭轉(zhuǎn)［5-9］問(wèn)題。自從Newmark［10］率先開(kāi)展行波激勵(lì)下對(duì)稱建筑結(jié)構(gòu)地震扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題的研究之后，一些學(xué)者針對(duì)行波激勵(lì)下對(duì)稱和偏心結(jié)構(gòu)的地震扭轉(zhuǎn)響應(yīng)進(jìn)行了研究。Hao［11］針對(duì)多點(diǎn)激勵(lì)下的單層對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)，研究了柱剪力和樓板扭矩。結(jié)果表明，不考慮行波效應(yīng)會(huì)低估柱子的剪力值。Heredia-Zavoni 等［12］和陽(yáng)棟等［13］針對(duì)多點(diǎn)地震激勵(lì)下的對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)，研究了柱剪力的響應(yīng)。結(jié)果表明，考慮地震動(dòng)的行波效應(yīng)時(shí)，底層柱剪力明顯增大。Hao［14］利用隨機(jī)方法研究了多點(diǎn)激勵(lì)下單層偏心框架結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)，結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)自振頻率和地震動(dòng)相位差以及非耦聯(lián)扭平頻率比都會(huì)影響結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)。

上述研究采用數(shù)值方法。劉鐵林等［15］針對(duì)正弦行波激勵(lì)下單層對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)，采用解析方法研究了結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)。結(jié)果表明，激勵(lì)頻率在低于基頻的一定范圍，激勵(lì)頻率越低，柱剪力行波效應(yīng)越顯著。

文中針對(duì)正弦行波激勵(lì)下單層偏心框架結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題，采用解析方法研究結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)。建立單層偏心框架結(jié)構(gòu)在行波激勵(lì)下的振動(dòng)方程并采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法對(duì)其進(jìn)行求解，獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的解析解。計(jì)算正弦行波激勵(lì)下單層偏心框架結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)響應(yīng)，探討質(zhì)量偏心率和激勵(lì)頻率對(duì)結(jié)構(gòu)的峰值樓板扭矩和峰值柱剪力的影響規(guī)律。

1 振動(dòng)方程

1.1 振動(dòng)方程建立

圖1（a）是單層偏心框架結(jié)構(gòu)示意圖，其中b和a分別是x和y方向跨度，h是結(jié)構(gòu)高度。設(shè)m是剛性樓板質(zhì)量，Jcm是繞樓板質(zhì)心鉛直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。kx與ky分別是各柱在x和y方向的側(cè)移剛度。點(diǎn)Cs是結(jié)構(gòu)的剛心和樓板形心重合點(diǎn)，點(diǎn)Cm是樓板質(zhì)心，ex是x方向的質(zhì)量偏心距。波動(dòng)沿x方向傳播，y方向激勵(lì)。左側(cè)1 柱和2 柱的柱底先同時(shí)受到激勵(lì)，右側(cè)3 柱和4 柱的柱底經(jīng)b/v時(shí)間后再同時(shí)受到激勵(lì)，v是視波速。圖1（b）是某時(shí)刻樓板振動(dòng)示意圖，其中粗實(shí)線是樓板經(jīng)過(guò)質(zhì)心y方向平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)后的振動(dòng)位置。

圖1 單層偏心框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Single-story eccentric frame structure

設(shè)柱頂x方向絕對(duì)位移分別為ux1、ux2、ux3和ux4，柱頂y方向絕對(duì)位移分別為uy1、uy2、uy3和uy4，柱底y方向絕對(duì)位移分別為uy01、uy02、uy03和uy04，則由圖1可建立結(jié)構(gòu)y方向平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程為：

需要說(shuō)明的是，左側(cè)的1柱和2柱y方向的剪力相等，右側(cè)的3柱和4柱y方向的剪力相等。

1.2 擬靜力位移和動(dòng)力量方程

利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法，由方程（3）可得擬靜力位移為：

分別為結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的y方向自振圓頻率和扭轉(zhuǎn)自振圓頻率。

2 樓板扭矩和柱剪力的解析解

2.1 正弦行波激勵(lì)加速度

利用地震動(dòng)加速度和位移時(shí)程的構(gòu)成［16］，選取地震動(dòng)加速度和位移時(shí)程通項(xiàng)作為正弦行波激勵(lì)，則左側(cè)柱底和右側(cè)柱底y方向正弦激勵(lì)時(shí)程如下：

當(dāng)0≤t≤b/v時(shí)

當(dāng)t≥b/v時(shí)

式中，Ag為正弦行波振幅；θ為激勵(lì)頻率。

2.2 樓板質(zhì)心的絕對(duì)位移和樓板轉(zhuǎn)角位移

將式（8）和式（9）中的柱底y方向的位移時(shí)程代入式（4）得到擬靜力位移，將式（8）和式（9）中的柱底y方向的加速度時(shí)程代入方程（5），利用振型疊加法得到動(dòng)力量位移，將擬靜力位移和動(dòng)力量位移相加，可得行波激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)樓板質(zhì)心的絕對(duì)位移和樓板轉(zhuǎn)角位移穩(wěn)態(tài)解如下：

當(dāng)0≤t≤b/v時(shí)，

當(dāng)t≥b/v時(shí)，

式中，η=ex/b為文中采用的樓板x方向偏心率。

當(dāng)激勵(lì)頻率θ趨于0 時(shí)，sinθt和sinθ(t-b/v)分別近似為θt和θ(t-b/v)，則由式（10）～（13）可知位移響應(yīng)均為零。當(dāng)θ趨于∞時(shí)，則由式（10）～式（13）顯然可知位移響應(yīng)也皆為零。即當(dāng)激勵(lì)頻率θ趨于0或∞時(shí)，樓板質(zhì)心y方向的絕對(duì)位移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角位移都趨于0，即處于靜止?fàn)顟B(tài)。

當(dāng)偏心距ex趨于0即η= 0時(shí)，有ω1=ωy，則式（10）～式（13）可退化為文獻(xiàn)［15］給出的行波激勵(lì)下對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)響應(yīng)的解析解。

當(dāng)視波速v趨于無(wú)窮大時(shí)，式（12）和式（13）可退化為一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)

由式（14）中的右式可知，一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)樓板會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，并存在2 個(gè)共振區(qū)，而一致激勵(lì)下對(duì)稱結(jié)構(gòu)樓板不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

由式（14）的第一個(gè)式子減去一致激勵(lì)情況下的基礎(chǔ)位移uy0l=uy0r= -( )Ag θ2sinθt+Agt/θ，可得一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的樓板質(zhì)心相對(duì)于基礎(chǔ)的y方向側(cè)移為

式（14）中的左式和式（15）不顯含偏心率η，但ω1和ω2與結(jié)構(gòu)偏心距ex有關(guān)，因此樓板質(zhì)心y方向的絕對(duì)位移和相對(duì)側(cè)移實(shí)際上皆與結(jié)構(gòu)的偏心有關(guān)。一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的y方向振動(dòng)存在2個(gè)共振區(qū)。

注意到對(duì)稱結(jié)構(gòu)即偏心率η為零時(shí)，ω1=ωy，則由式（15）可得一致激勵(lì)下對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)樓板相對(duì)基礎(chǔ)的y方向側(cè)移為

2.3 樓板扭矩

注意到η=ex/b，則由方程（3）的第二行，得扭矩為：

將式（10）～式（13）代入上式，可得行波激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)樓板扭矩的穩(wěn)態(tài)解如下：

當(dāng)0≤t≤b/v時(shí)，

當(dāng)t≥b/v時(shí)，

與絕對(duì)位移響應(yīng)的分析同理，當(dāng)激勵(lì)頻率θ趨于0和∞時(shí)，易得兩個(gè)時(shí)間段的扭矩都為0。

注意到偏心率η= 0 時(shí)有ω1=ωy，則式（18）～式（19）可退化為文獻(xiàn)［15］給出的行波激勵(lì)下對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)樓板扭矩穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解。

當(dāng)視波速v趨于無(wú)窮大時(shí)，式（19）可退化為一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的樓板扭矩，

由式（18）和式（19）可見(jiàn)，行波激勵(lì)下無(wú)論是偏心結(jié)構(gòu)還是對(duì)稱結(jié)構(gòu)都會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。由式（20）易見(jiàn)，一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的樓板扭矩不為零，而對(duì)稱結(jié)構(gòu)的樓板扭矩為零。

2.4 柱剪力

考慮到左側(cè)的1柱和2柱y方向的剪力相等，可用Fyl表示1柱或2柱y方向的剪力；考慮到右側(cè)的3柱和4柱y方向的剪力相等，可用Fyr表示3柱或4柱y方向的剪力。則柱頂剪力有：

將式（10）～式（13）代入式（21）和式（22），可得行波激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)左側(cè)和右側(cè)柱子y方向的柱剪力穩(wěn)態(tài)解如下：

當(dāng)0≤t≤b/v時(shí)，

當(dāng)t≥b/v時(shí)，

與絕對(duì)位移響應(yīng)的分析同理，當(dāng)激勵(lì)頻率θ趨于0和∞時(shí)，易知左側(cè)和右側(cè)柱子的兩個(gè)時(shí)間段y方向的柱剪力都為0，結(jié)果合理。

當(dāng)偏心率η趨于0 時(shí)，有ω1=ωy、ω2=ωφ和4r2ω2φ-b2ω2y=a2ω2x，則式（23）～式（26）可退化為文獻(xiàn)［15］給出的行波激勵(lì)下對(duì)稱框架結(jié)構(gòu)y方向柱剪力穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解。

當(dāng)視波速v趨于無(wú)窮大時(shí)，式（25）和式（26）可退化成一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的y方向柱剪力，

當(dāng)視波速v無(wú)窮大且偏心率為零時(shí)，由式（27）和式（28）可得一致激勵(lì)下對(duì)稱結(jié)構(gòu)的y方向柱剪力為，

3 算例

取圖1（a）中的單層偏心框架結(jié)構(gòu)為例，樓板邊長(zhǎng)b取6 600 mm，a取4 500 mm，厚度取120 mm。各梁截面尺寸皆取300 mm × 550 mm。柱高h(yuǎn)取4 200 mm，各柱截面尺寸皆取500 mm × 500 mm。混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，彈性模量為3×104MPa。鋼筋混凝土密度取2 500 kg/m3。正弦激勵(lì)的加速度振幅Ag取1.0 m/s2，持續(xù)時(shí)長(zhǎng)50 s，視波速取3 000 m/s。分析不同偏心率和不同激勵(lì)頻率時(shí)正弦行波激勵(lì)下單層偏心框架結(jié)構(gòu)的峰值樓板扭矩和y方向峰值柱剪力。

3.1 偏心率與結(jié)構(gòu)頻率關(guān)系

圖2是結(jié)構(gòu)固有頻率ω1和ω2以及結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的y方向自振圓頻率ωy和扭轉(zhuǎn)自振圓頻率ωφ與偏心率η的關(guān)系。

圖2 結(jié)構(gòu)頻率與偏心率關(guān)系曲線Fig.2 Relations between structural frequency and eccentricity ratio

由圖2、式（6）第一式和式（7）可知，結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的y方向自振圓頻率ωy與偏心率無(wú)關(guān)，結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的扭轉(zhuǎn)自振圓頻率ωφ不偏心時(shí)有最大值，且隨偏心率增大而逐漸降低。結(jié)構(gòu)固有頻率ω1不偏心時(shí)有最大值且等于ωy，相同偏心情況下ω1小于ωy，ω1隨偏心率增大而逐漸降低。結(jié)構(gòu)固有頻率ω2不偏心時(shí)有最大值且等于ωφ，相同偏心情況下ω2大于ωφ，ω2隨偏心率增大而逐漸降低。

3.2 峰值樓板扭矩

圖3（a）是視波速為3 000 m/s時(shí)峰值樓板扭矩與偏心率和激勵(lì)頻率的關(guān)系曲面圖，圖3（b）是不同偏心率情況下峰值樓板扭矩與激勵(lì)頻率的關(guān)系。

圖3 峰值樓板扭矩Fig.3 Peak floor torque

由圖3（a）和（b）可知，峰值樓板扭矩關(guān)于偏心率η=0 對(duì)稱。行波激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的峰值樓板扭矩在ω1和ω2處各存在一個(gè)共振區(qū)，而行波激勵(lì)下對(duì)稱結(jié)構(gòu)只在ω2處有一個(gè)共振區(qū)。隨著偏心率增大，共振區(qū)向低頻方向偏移且共振區(qū)范圍逐漸增大。對(duì)于偏心結(jié)構(gòu)，ω1處的共振區(qū)比ω2處的共振區(qū)窄。

3.3 y方向峰值柱剪力

圖4（a）為視波速3 000 m/s 時(shí)左柱y方向峰值柱剪力（對(duì)數(shù)坐標(biāo)）與偏心率和激勵(lì)頻率（對(duì)數(shù)坐標(biāo)）的關(guān)系曲面圖，圖4（b）是圖4（a）中激勵(lì)頻率0.1 Hz以上的部分。

圖4 左柱y方向峰值柱剪力與偏心率和激勵(lì)頻率關(guān)系Fig.4 Relations between peak column shear of left column in the y direction and eccentricity ratio as well as excitation frequency

由圖4（a）和4（b）可知，行波激勵(lì)下偏心與對(duì)稱結(jié)構(gòu)的y方向峰值柱剪力都在極低激勵(lì)頻率（0.007 3 Hz）處存在一個(gè)峰值，峰值位置與偏心率無(wú)關(guān)。行波激勵(lì)下偏心與對(duì)稱結(jié)構(gòu)的y方向峰值柱剪力在ω1和ω2處各存在一個(gè)共振區(qū)，且隨著偏心率增大共振區(qū)向低頻方向偏移。ω1處共振區(qū)比ω2處共振區(qū)寬。需要說(shuō)明的是，一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)y方向峰值柱剪力在ω1和ω2處也各存在一個(gè)共振區(qū)，且隨著偏心率增大共振區(qū)也向低頻方向偏移。

圖5 是結(jié)構(gòu)偏心率分別為0 和負(fù)20%時(shí)左柱y方向峰值柱剪力與激勵(lì)頻率關(guān)系曲線。實(shí)線為行波激勵(lì)，虛線為一致激勵(lì)。由圖5 可知，偏心結(jié)構(gòu)（圖中僅展示一種偏心率情況）行波激勵(lì)下的峰值柱剪力大于一致激勵(lì)的峰值柱剪力，行波激勵(lì)下對(duì)稱結(jié)構(gòu)的峰值柱剪力也大于一致激勵(lì)的峰值柱剪力。行波激勵(lì)下無(wú)論偏心結(jié)構(gòu)還是對(duì)稱結(jié)構(gòu)極低頻部分都會(huì)出現(xiàn)從零開(kāi)始的突升陡降的峰值區(qū)域。無(wú)論偏心結(jié)構(gòu)還是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，當(dāng)激勵(lì)頻率低于某個(gè)小于ω1的頻率時(shí)，行波激勵(lì)的峰值柱剪力大于一致激勵(lì)峰值柱剪力，激勵(lì)頻率越低，柱剪力的行波效應(yīng)越顯著。這意味著在低頻成分豐富的地震波作用下框架結(jié)構(gòu)易于出現(xiàn)行波效應(yīng)。

由圖5也可知，一致激勵(lì)下偏心結(jié)構(gòu)的y方向峰值柱剪力在ω1和ω2處各存在一個(gè)共振區(qū)，而對(duì)稱結(jié)構(gòu)只在ω1處存在一個(gè)共振區(qū)。

圖5 左柱y方向峰值柱剪力與激勵(lì)頻率關(guān)系曲線Fig.5 Relations between peak column shear of left column in y direction and excitation frequency

需要指出的是，右柱y方向峰值柱剪力可得到與左柱相同的結(jié)果。

圖6（a）和（b）分別為左側(cè)柱和右側(cè)柱y方向峰值柱剪力與偏心率關(guān)系曲線。實(shí)線為行波激勵(lì)，虛線為一致激勵(lì)。由圖6 可知，對(duì)于偏心結(jié)構(gòu)，無(wú)論行波激勵(lì)還是一致激勵(lì)，靠近質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力大，遠(yuǎn)離質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力小。行波激勵(lì)下偏心和對(duì)稱結(jié)構(gòu)的峰值柱剪力大于一致激勵(lì)的峰值柱剪力。

圖6 y方向峰值柱剪力與偏心率關(guān)系曲線Fig.6 Relations between peak column shear in y direction and eccentricity ratio

4 結(jié)論

文中建立了單層偏心框架結(jié)構(gòu)在行波激勵(lì)下的振動(dòng)方程，采用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法求解得到了正弦行波激勵(lì)下單層偏心框架結(jié)構(gòu)樓板質(zhì)心y方向的絕對(duì)位移、樓板轉(zhuǎn)角位移、樓板扭矩和柱剪力的解析解。分析了結(jié)構(gòu)固有頻率、峰值樓板扭矩和峰值柱剪力，得出以下結(jié)論：

（1）對(duì)于偏心結(jié)構(gòu)，無(wú)論行波激勵(lì)還是一致激勵(lì)，峰值樓板扭矩在結(jié)構(gòu)的2 個(gè)固有頻率處各存在一個(gè)共振區(qū)。隨著偏心率增大，2個(gè)共振區(qū)都向低頻方向偏移且范圍逐漸增大。對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)，行波激勵(lì)下峰值樓板扭矩只存在第2個(gè)共振區(qū)，而一致激勵(lì)時(shí)不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

（2）行波激勵(lì)下偏心和對(duì)稱結(jié)構(gòu)的激勵(lì)方向峰值柱剪力于極低激勵(lì)頻率處都存在一個(gè)突升陡降區(qū)域，在結(jié)構(gòu)的2個(gè)固有頻率處各存在一個(gè)共振區(qū)。突升陡降區(qū)域的峰值位置與偏心率無(wú)關(guān)，2個(gè)共振區(qū)都隨偏心率增大向低頻方向偏移。一致激勵(lì)下對(duì)稱結(jié)構(gòu)則只存在第1 個(gè)共振區(qū)，而偏心結(jié)構(gòu)在2 個(gè)固有頻率處也各存在一個(gè)共振區(qū)，2個(gè)共振區(qū)也都隨偏心率增大向低頻方向偏移。

（3）無(wú)論偏心結(jié)構(gòu)還是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，當(dāng)激勵(lì)頻率在低于基頻的一定范圍時(shí)，激勵(lì)頻率越低，柱剪力的行波效應(yīng)越顯著。

（4）對(duì)于偏心結(jié)構(gòu)，無(wú)論行波激勵(lì)還是一致激勵(lì)，靠近質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力大，遠(yuǎn)離質(zhì)心一側(cè)柱子的峰值柱剪力小。

（5）結(jié)構(gòu)非耦聯(lián)的激勵(lì)方向自振頻率與偏心率無(wú)關(guān)。對(duì)稱結(jié)構(gòu)的非耦聯(lián)扭轉(zhuǎn)自振頻率最大，偏心結(jié)構(gòu)的非耦聯(lián)扭轉(zhuǎn)自振頻率隨偏心率增大而逐漸降低。對(duì)稱結(jié)構(gòu)的固有頻率最大且等于非耦聯(lián)自振頻率，偏心結(jié)構(gòu)的固有頻率隨偏心率增大而逐漸降低。