面向師范生的高等代數(shù)課程的若干概念教學探討

張 迪

（廣東第二師范學院數(shù)學學院 廣東·廣州 510303）

面對新的教育理念和新課程改革的要求，根本的策略是促進教師的專業(yè)化發(fā)展，而數(shù)學教師專業(yè)素質(zhì)的培養(yǎng)和提升是其中的核心問題。

數(shù)學教師專業(yè)素質(zhì)是在一般素質(zhì)基礎上形成和發(fā)展起來的數(shù)學教師職業(yè)的素養(yǎng)和品質(zhì)，包括數(shù)學素養(yǎng)和品質(zhì)，數(shù)學教育教學理論素養(yǎng)和品質(zhì)以及數(shù)學教學技能。在數(shù)學師范生的培養(yǎng)方案中，一般通過數(shù)學學科基礎課群，數(shù)學專業(yè)課群，教育學及心理學基礎課群，數(shù)學教育課群來實現(xiàn)培養(yǎng)目標。

數(shù)學教學技能是數(shù)學教師以教學操作知識為基礎的心智技能與動作技能的統(tǒng)一。動作技能包括一系列外部可見的肢體動作，如語音，語調(diào)，語速，板書等，還包括口語表達技能，書面表達技能等部分。心智技能則主要指教師基于自身的數(shù)學素養(yǎng)及數(shù)學教學素養(yǎng)完成的心智活動方式，包括講解，提問，抽象概括等等。從對數(shù)學教學技能結(jié)構(gòu)的剖析不難發(fā)現(xiàn)，教師的數(shù)學教學技能首先是教師基于個人數(shù)學素養(yǎng)，數(shù)學教育教學素養(yǎng)的外顯行為方式，是教師實現(xiàn)個人相關素質(zhì)的外顯，傳遞和遷移的工具。

目前在師范生的培養(yǎng)中，“重視動作技能，輕視數(shù)學思想內(nèi)化，輕視數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)化”的現(xiàn)象是普遍存在的，學生的“心智技能”的形成相對滯后。這與師范生培養(yǎng)過程中，數(shù)學學科知識學習，數(shù)學教育教學理論學習與教學技能培養(yǎng)三方面被割裂有關系，也與高校教師和學生本人的意識有關。

筆者從事師范生的教育工作，因此比較關注中小學數(shù)學教育教學。在中小學，常有老師們不能確定一道題的計算過程或者結(jié)果對錯于否，筆者認為造成這一現(xiàn)象的原因是教師對于教材中概念的理解和把握不夠準確造成的。要杜絕此類事件的發(fā)生，需要授課教師對概念有深刻的認識，包括對數(shù)學概念的來龍去脈的掌握，對概念內(nèi)涵的理解，概念外延的把握，以及清楚數(shù)學概念在中小學中的界定與表述（中小學數(shù)學教材由于受學生思維水平的限制，有的數(shù)學概念會采用不嚴格的描述性代替[2]）等。除了上面的問題，在數(shù)學師范生試講、實習時還會反映出其他一些問題，比如學生對數(shù)學的書面表達，口頭表達不夠嚴謹；對數(shù)學的理解孤立片面，不能很好的將知識聯(lián)系起來，缺乏對知識的宏觀把握；不太懂數(shù)學推理和數(shù)學方法，導致不能夠意識到中小學的一些規(guī)律和計算法則是通過歸納和推理得到的，因而不能夠在課堂講授中體現(xiàn)出來等等。數(shù)學學科知識是數(shù)學教師專業(yè)成長的一個重要方面，數(shù)學教師只有具備了精深的數(shù)學專業(yè)知識，教學技能才能有效的發(fā)揮作用，才能更好的靈活變通，教師才有可能成為教學的真正能手，否則只能照本宣科或者耍?？占茏覽3]。

本文通過高等代數(shù)中的幾個課題特別是概念課題，進行加強和培養(yǎng)學生對數(shù)學學科知識與思想方法的學習與體會的案例分析，為師范生“心智技能”的養(yǎng)成提供支持。

1 數(shù)學概念

數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關系本質(zhì)屬性的思維形式[1]。數(shù)學的理論，小到一篇論文，大到專著，都是由數(shù)學概念，數(shù)學事實，數(shù)學方法（這是一切數(shù)學材料的基本要素)[5]構(gòu)成的。數(shù)學事實是概念的內(nèi)涵，數(shù)學方法用來組建從“概念”里挖掘“事實”的途徑。因此，數(shù)學概念在數(shù)學理論體系中最基本也最重要。

2 高等代數(shù)中的若干概念課題探討

2.1 關于多項式的一些概念的講授

我們的課程教材選用了張禾瑞，郝鈵新編的《高等代數(shù)》第五版。

2.1.1 多項式的整除

這個概念的上述處理是讓學生體會數(shù)學理論體系一切從定義出發(fā)，一切以定義為依據(jù)。

2.1.2 多項式的分解

2.2 關于線性變換的一個概念和事實的講授

線性變換是高等代數(shù)的核心內(nèi)容之一，它與向量空間，矩陣，向量空間的基，向量，坐標，特征值，特征向量，正交變換，對稱變換等都有密切聯(lián)系，是學習的重點和難點之一。筆者在這部分內(nèi)容的講授中常使用關系圖，以及數(shù)形結(jié)合的方法。這可以幫助學生對知識形成一個整體的認知，相對輕松的理解知識。既可以提高學生的學習興趣和積極性，也能讓他們看到數(shù)形結(jié)合的好處。下面考察一個具體案例。

教材在引入線性變換關于給定基的矩陣概念后，給出一個定理[6]：

我們畫圖理解如下（圖中字母的含義見定理）：

用關系圖去理解定理，它的結(jié)論自然而然，顯而易見。學生容易理解定理，理清各個概念之間的關系，在遇到相關的習題時，就能夠以不變應萬變，應付各種題目。通過數(shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化，我們可以更好地理解數(shù)學概念和數(shù)學事實，抓住它的本質(zhì)。

3 結(jié)論與思考

本文結(jié)合師范類本科院校的培養(yǎng)目標，在教學大綱的基本要求下，基于對師范生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)和后續(xù)發(fā)展的考慮，對《高等代數(shù)》的概念課題的教學做了一些探索。

（1）數(shù)學學科知識學習，數(shù)學教育教學理論學習與教學技能培養(yǎng)三方面是不能被割裂開的，教師在課堂教學過程中除了讓學生掌握基本知識、基本理論和基本方法外，也要注意培養(yǎng)他們用文字語言和數(shù)學語言準確的描述數(shù)學問題的能力和嚴謹認真的態(tài)度。

（2）在課堂講授過程中，教師對教材要做適當?shù)募庸?。在講授概念時，要用各種圖，表，注釋，說明或者例子讓學生理解定義字里行間背后隱藏的本質(zhì)，要給學生展示如何把握概念。要讓學生學著去理解概念而不是背誦它。要引導學生轉(zhuǎn)變學習方法，培養(yǎng)學生的理解能力。

（3）在課堂上教師應該注重以學生為中心，多引導學生參與課堂，教師要多采用啟發(fā)式教學，精心設計一些提問，比如在給出數(shù)學概念之前，用問題啟發(fā)學生去思考如何用數(shù)學的語言描述事物；或者讓學生參與討論，自己概括出概念的本質(zhì)特征；也可以在給出概念后，讓學生提出一些和概念有關的問題。通過這樣的方式可以調(diào)動學生的積極性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

（4）要培養(yǎng)學生對高等代數(shù)，對數(shù)學的興趣。對于大多數(shù)師范生來說，他們以后的工作崗位是中小學老師，如果他們自身對數(shù)學，對數(shù)學的學習都沒有興趣，那么他們也不可能培養(yǎng)下一代學生對數(shù)學建立正確的觀念。因此大學老師要通過各種方法，比如數(shù)形結(jié)合的方法，比如舉例子的方法，讓數(shù)學概念，數(shù)學事實變得容易理解，只有聽得懂，學生才會有興趣；還有在高等代數(shù)課堂上穿插數(shù)學史，名人軼事，代數(shù)在現(xiàn)代社會的廣泛用途等，增加課堂趣味性，激發(fā)學生學習興趣；還可以讓學生了解高等代數(shù)與中小學數(shù)學的關系，比如高等代數(shù)里多項式，線性方程組的理論更加抽象和廣泛，而中學的相關內(nèi)容只是這些抽象內(nèi)容的一個具體例子，解決這些抽象問題的思路方法完全可以用來指導和解決中學的相關題目，學生看到高等代數(shù)對中小學數(shù)學的作用，他們才能體會高等代數(shù)的重要性，從而重視這門課的學習。

（5）高等代數(shù)概念多且較為抽象，在課堂中要注意引導學生轉(zhuǎn)變學習方法，轉(zhuǎn)變學習觀念，體會大學數(shù)學學習與中學數(shù)學學習的不同。一方面，要讓學生在學習過程中注重知識本質(zhì)的學習，而不是忙于做題；要理解數(shù)學，而不是記憶數(shù)學，模仿解題。另一方面，要在課堂教學中重視和滲透數(shù)學思想以及學習數(shù)學的方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學觀。