基于LFSTM的中學(xué)數(shù)學(xué)解題靶向確定

歐陽亮， 胡吉振， 胡典順， 吳健榮

(1.華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430079；2.麗水學(xué)院 教師教育學(xué)院， 浙江 麗水 323000；3.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 蘇州 215000)

一、問題的提出

波利亞(George Polya)在談到數(shù)學(xué)怎樣解題時(shí)指出：“等價(jià)輔助題目鏈在數(shù)學(xué)論證中是司空見慣的。”[1]所謂的“等價(jià)輔助題目鏈”是指在解題時(shí)，對題目進(jìn)行一連串等價(jià)變換時(shí)所得的題目。等價(jià)輔助題目鏈的作用就是將原來的求解題目等價(jià)變換成已知的或是明顯可以解答的題目。這說明等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生是有方向性的，雖然波利亞給出了等價(jià)輔助題目鏈變換的方向“已知或是明顯可以解答的題目”和關(guān)于解題策略的“怎樣解題表”，但在問題解決過程中變換靶向并不是十分明確。

中學(xué)數(shù)學(xué)解題的LFSTM模式，即在數(shù)學(xué)解題過程中，指引等價(jià)輔助題目鏈朝著元素化少、化熟和化同的方向進(jìn)行變換的思維模式稱作“少熟同思維模式(Less-Familiar-Same Thinking Model)”，即LFSTM[2]。LFSTM為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供了方向。但是當(dāng)?shù)葍r(jià)輔助題目鏈應(yīng)用LFSTM無法產(chǎn)生或是產(chǎn)生多個(gè)分支時(shí)，就會給解題帶來困惑。

從LFSTM的角度出發(fā)，可以選擇把次冪化“少”，角化“少”或是兩者同時(shí)化“少”，而且在角化“少”的時(shí)候，是化“少”成什么角，是化成兩倍角還是單倍角呢？在化“少”的靶向上產(chǎn)生了分歧，導(dǎo)致解題陷入了困境。

這有點(diǎn)類似問題解決的爬山法[3]，爬山法的基本思想是設(shè)立一個(gè)目標(biāo)，然后選取與起點(diǎn)臨近的未被訪問的任一節(jié)點(diǎn)(有多種選擇)，向目標(biāo)方向運(yùn)動，逐步逼近目標(biāo)。雖然爬山法有助于問題的解決，但是在策略和目標(biāo)的選取上，是通過“試誤”或是“嘗試”來解題。那么，對于爬山法中多種節(jié)點(diǎn)的選擇上，是否存在一個(gè)或幾個(gè)比較“便捷”的路徑，這是需要甄別的。于是，需要進(jìn)一步研究當(dāng)在等價(jià)輔助題目鏈產(chǎn)生過程無法出現(xiàn)或出現(xiàn)多個(gè)分支時(shí)如何確定變換的方向。

根據(jù)全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會審定公布的靶向定義是指對特定目標(biāo)采取的行動，我們把通過等價(jià)輔助題目鏈將原題目等價(jià)變換成“已知或是明顯可以解答的題目”所采取的行動稱作解題靶向。為了找到一種基于LFSTM的中學(xué)數(shù)學(xué)解題靶向，我們需要對LFSTM做進(jìn)一步的分析。

二、基于LFSTM的中學(xué)數(shù)學(xué)解題分析

(一)LFSTM的心理分析

問題解決過程中思維指向“少”是一種心理或思維的本能。1973年庫珀(Copper)等人通過“心理旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)”，發(fā)現(xiàn)人們在完成作業(yè)時(shí)總是傾向于把作業(yè)中的元素轉(zhuǎn)換成最初的表象(表象是心理表征的一個(gè)部分)[4]。鄧鑄等指出問題內(nèi)部表征的形成機(jī)制有樣例類比、問題空間表象化、問題范疇化等形式[5]。從這些形式的內(nèi)部表征形成機(jī)制看，問題內(nèi)部表征的建立依賴于知覺系統(tǒng)對有關(guān)問題信息的覺察和過去知識經(jīng)驗(yàn)對知覺信息的解釋，特別是已有的問題樣例和理論范疇，可以使問題得到快速表征。韋斯伯格(Robert W.Weisberg)也指出“人們總是從他們所知道的東西開始著手解決問題，并逐步修改這些思路以適應(yīng)當(dāng)前的問題情境”[6]。也就是說在解決問題中思維傾向于將問題轉(zhuǎn)化為“熟悉”的表征，“熟悉”成為問題解決思維的起點(diǎn)。而化“同”為化“少”和化“熟”指明方向。

將試題：“銳角△ABC滿足sin(A-B)=cosC，求角B的大小”給高中生解答。在高一9月剛開學(xué)時(shí)，學(xué)生選擇的方法是利用初中已經(jīng)學(xué)過的公式cosC=sin(90°-C)將函數(shù)名變“少”；在高一下學(xué)期結(jié)束時(shí)讓上述相同的同學(xué)再次進(jìn)行解答，絕大部分學(xué)生選擇的方法卻是把角化“少”。思維的主體集合沒有變，思維的客體(對象)沒有變，不同解題方法的選擇，反映出主體在進(jìn)行思維活動時(shí)，是以主體的思維為主導(dǎo)，較少關(guān)注客體(對象)，而主體的思維在習(xí)得新知識和新技能后發(fā)生了變化，從而導(dǎo)致了問題解決過程中思維的改變。

所以，LFSTM應(yīng)該是中學(xué)數(shù)學(xué)解題思維的起點(diǎn)，更多側(cè)重于對解題中個(gè)體本能反應(yīng)的描述。這種本能的反應(yīng)是以自我意識為主導(dǎo)，較少從問題的本質(zhì)入手或是不太深入地分析問題的本質(zhì)屬性，屬于思維的條件反射，是個(gè)體數(shù)學(xué)直覺的反應(yīng)。它是思維主體性體現(xiàn)，是主體的思維，“為人的認(rèn)識活動和實(shí)踐活動提供了自身的內(nèi)在尺度”[7]。同時(shí)，朱智賢、林崇德[8]指出思維能力是分層次的，因?yàn)椤爸橇κ欠謱哟蔚模橇Φ膶哟危饕w現(xiàn)在思維能力上”。那么，LFSTM應(yīng)該是屬于中學(xué)數(shù)學(xué)解題思維的基礎(chǔ)層，為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供基礎(chǔ)的、數(shù)學(xué)直覺的、主體性的思維靶向。

(二)基于問題解決客體(對象)的分析

在相關(guān)研究評述中我們提到數(shù)學(xué)解題需要對問題進(jìn)行準(zhǔn)確的表征。認(rèn)知心理學(xué)研究者通常認(rèn)為問題解決機(jī)制中問題表征就是理解問題，僅僅是個(gè)體內(nèi)部的心理過程。有學(xué)者對此提出了質(zhì)疑，其使用Tic-Tac-Toe式同型游戲問題作為實(shí)驗(yàn)材料，發(fā)現(xiàn)問題的外部結(jié)構(gòu)與情景不只是對內(nèi)部意識的輸入和刺激，它也具有獨(dú)立于內(nèi)部表征的作用[9]。這就是說問題解決過程中不能只關(guān)注個(gè)體內(nèi)部的心理過程——主體，還要重視問題的外部結(jié)構(gòu)與情景——客體(對象)。“現(xiàn)實(shí)的思維活動只有在既有主體又有客體，并且在主體和客體通過實(shí)踐的實(shí)際相互作用中才能產(chǎn)生和形成。”[10]不存在單一的主體的思維，或是客體的思維，思維都是主體思維為主導(dǎo)的聯(lián)系客體(對象)的思維。

格式塔的知覺場理論認(rèn)為，“良好均衡的知覺場的形成取決于問題解決者超越了對于事物的表面特征的認(rèn)識，而領(lǐng)悟到事物之間的內(nèi)在關(guān)系，這種均衡良好的知覺場的形成，問題就會迎刃而解”[11]。于是對于客體(對象)的分析要把握問題的本質(zhì)與核心概念，并建立起與問題解決相關(guān)的概念、命題的內(nèi)在聯(lián)系，建構(gòu)良好均衡的知覺場，以及對問題的準(zhǔn)確表征。我們把這種基于問題解決的客體(對象)而展開的思維稱作客體性(對象性)思維。也就是，問題解決過程中個(gè)體思維要從自我意識為中心轉(zhuǎn)化到以客體(對象)為中心，體現(xiàn)基于客體(對象)的客體性思維。

如對于上面的例子“銳角△ABC滿足sin(A-B)=cosC，求角B的大小”，若學(xué)生能從客體(對象)的角度展開思維，在問題不變、解決問題的程序隨著實(shí)踐活動、經(jīng)驗(yàn)、觀念的積累不出現(xiàn)簡化的情況下，解決方法和行為應(yīng)該是不變的。上例若利用LFSTM從客體性(對象性)思維的角度出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)角化“少”暫時(shí)只能化為兩個(gè)角；而三角函數(shù)名化少，卻可以直接化成一個(gè)。三角函數(shù)名化“少”更有利于問題的解決。這樣通過對客體(對象)的分析，即使學(xué)生在習(xí)得三角恒等變換后，由于新的方法沒有使原有的程序帶來簡化。所以，等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生靶向是不變的。

“思維客體屬于現(xiàn)實(shí)世界，是現(xiàn)實(shí)世界的一部分，但并非現(xiàn)實(shí)世界的一切現(xiàn)象、一切事物都是現(xiàn)實(shí)的思維客體，只有那些為人的認(rèn)識活動、實(shí)踐活動觸及或指向的事物，成為實(shí)現(xiàn)人的目的、本性和本質(zhì)力量，從而滿足人的某種需要的對象，才能成為思維主體的現(xiàn)實(shí)的思維客體。”[12]也就是說，在問題解決過程中，思維客體需要甄別和選擇，應(yīng)該抓住客體(對象)的主要矛盾和主要方面，舍去無關(guān)因素，抓住客體(對象)的本質(zhì)。當(dāng)然也不能忽略個(gè)體的主體性思維，此時(shí)主體性思維是在基于對象(問題)客體的特征下展開的。

(三)思維的社會歷史性

社會性是思維主體的最本質(zhì)規(guī)定之一，不了解思維主體的社會性，就不能揭示思維現(xiàn)象、思維活動的社會根源和現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，因而就不能揭示思維和思維結(jié)構(gòu)的深刻本質(zhì)[13]。思維作為主體的思維，是在一定的文化和觀念的基礎(chǔ)上慢慢積累產(chǎn)生、演變和發(fā)展的，并受社會歷史條件的制約，具有社會歷史性。而“作為主體活動對象的客體，是同主體的需要、主體的本質(zhì)力量所能達(dá)到的可能界限和范圍，以及主體所處的歷史條件、社會關(guān)系聯(lián)系在一起的，是隨主體的發(fā)展和主體所處的歷史條件的變化而不斷擴(kuò)展的。客體不是始終如一、一成不變的老樣子，而是不斷變化的社會歷史的產(chǎn)物，是以勞動、實(shí)踐為基本內(nèi)容的人的歷史活動產(chǎn)物。”[14]也就是思維的客體(對象)是隨著思維的主體的社會實(shí)踐、歷史條件、社會關(guān)系的變化而變化的，同時(shí)思維客體(對象)的變化，也影響著主體思維的變化。

懷爾德(R.L.Wilder)指出一個(gè)人的數(shù)學(xué)實(shí)在觀往往離不開特定的文化背景[15]。個(gè)體數(shù)學(xué)實(shí)在觀的建立是在生產(chǎn)活動中積累產(chǎn)生的，具有社會和歷史的痕跡，這種痕跡以文化約定的方式外顯出來。數(shù)學(xué)思維作為數(shù)學(xué)實(shí)在觀的一個(gè)方面，必然也體現(xiàn)著文化的約定。

(四)LFSTM、基于對象—客體的思維及思維的社會歷史性的聯(lián)系

LFSTM作為主體思維的一種，是個(gè)體展開中學(xué)數(shù)學(xué)解題思維活動的基礎(chǔ)之一。但是，只有思維的主體，而沒有思維的客體，思維活動是無法產(chǎn)生的。任何真正的思維，都必是關(guān)于他自身之外的某種客體、某種對象的思維。如果思維沒有了思維的對象，它就成了無本之木、無源之水，沒有了存在的根據(jù)和思考的價(jià)值。同時(shí)思維作為主體主導(dǎo)的關(guān)于對象的思維是不能脫離社會性和歷史性而孤立存在的。思維是在一定的文化、觀念的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展的。

它們?nèi)邩?gòu)成了數(shù)學(xué)解題思維的整體結(jié)構(gòu)，對客體(對象)的分析開啟思維活動，受到社會和歷史制約的主體思維積極檢索、分析、甄別問題解決的程序，得出解決問題的方案，對解決問題的方案進(jìn)行實(shí)踐與檢驗(yàn)。在實(shí)踐和檢驗(yàn)的過程中，有可能會出現(xiàn)新的需要解決的問題，所以問題解決的思維過程不一定是單向的，有時(shí)需要上述思維活動多次循環(huán)以實(shí)現(xiàn)問題解決。LFSTM和思維的社會歷史性在個(gè)體反復(fù)的實(shí)踐活動中可以相互轉(zhuǎn)化，它們視域的交集也會增大。同時(shí)LFSTM、對象性(客體性)思維和思維的社會歷史性三者之間也在反復(fù)的實(shí)踐活動中相互促進(jìn)、發(fā)展和完善。比如：當(dāng)主體第一次在問題解決的過程中用到二次函數(shù)的配方法，這時(shí)的配方法屬于社會歷史性文化約定的范疇，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)研究者、教育者和使用者在實(shí)踐中約定俗成的方法。但是隨著對配方法深入的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)它屬于LFSTM的范疇，因?yàn)榕浞椒▽?shí)現(xiàn)了變量的化“少”；并且隨著反復(fù)的實(shí)踐，配方法也由不“熟悉”內(nèi)化為“熟悉”的方法，依然屬于LFSTM的范疇。而基于LFSTM的“貨源充足和組織良好的知識倉庫網(wǎng)絡(luò)”的建立，網(wǎng)絡(luò)中知識、方法節(jié)點(diǎn)的增多，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的完善和鏈接的增強(qiáng)，也有利于對客體(對象)本質(zhì)的認(rèn)識，有利于對文化約定的分析和理解。同時(shí)對客體(對象)本質(zhì)表征的精確把握，讓主體思維的LFSTM靶向更加準(zhǔn)確，在問題解決的實(shí)踐活動中主體也對問題的本質(zhì)有更深入的了解。當(dāng)然對文化約定視域的擴(kuò)大，有利于主體對客體(對象)的理解、分析和抽象，有利于LFSTM心理網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的增加和網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)的完善，更有利于問題的解決。

三、基于LFSTM的中學(xué)數(shù)學(xué)解題靶向

(一)基于LFSTM的主體思維靶向

主體思維作為思維活動的起源和基礎(chǔ)，為問題解決提供了基礎(chǔ)的思維方法和方向。主體思維靶向，即從主體的角度出發(fā)產(chǎn)生的問題解決的行動。LFSTM為主體的思維提供了中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生朝著“少數(shù)同”方向行動的目標(biāo)。這與相關(guān)研究評述中波利亞、涂榮豹等提出的解題策略不謀而合。如對于上面例子“銳角△ABC滿足sin(A-B)=cosC，求角B的大小”，通過角化“少”和三角函數(shù)名化“少”都可以對原題進(jìn)行解答。但是基于LFSTM主體思維靶向，并不是絕對對客體(對象)的忽視，而是在理解、提取客體的問題表征后，從主體的思維角度出發(fā)去尋求中學(xué)數(shù)學(xué)解題的靶向。

LFSTM的主體思維靶向的確定，隨著LFSTM的“貨源充足和組織良好的知識倉庫網(wǎng)絡(luò)”中知識、方法節(jié)點(diǎn)的增多，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的完善和鏈接聯(lián)系的增強(qiáng)而發(fā)展和提升。

(二)基于客體(對象)的思維靶向

“問題解決包括對初始問題連續(xù)的再闡述；對一個(gè)復(fù)雜問題的解決過程包括提出一些連續(xù)的更精煉的問題——更能體現(xiàn)已知信息與目標(biāo)之間關(guān)系的問題。這一系列問題提出的同時(shí)，也將總的解決問題的目標(biāo)分解為一層一層的次目標(biāo)，通過逐次對次目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，達(dá)到對原問題的最終解決。”[16]從中可以得出，問題的解決是圍繞問題本身展開分析和分解的。所以思維是基于對象的思維，對象也就作為它的內(nèi)容而規(guī)定著它。對于問題解決不能忽視對象。結(jié)合基于客體的思維和靶向的概念，提出運(yùn)用主體思維從客體(對象)的角度出發(fā)，分析發(fā)現(xiàn)客體(對象)的目標(biāo)或解決問題的難易程度而產(chǎn)生的問題解決行動稱為客體性(對象性)思維靶向。以下例來說明基于LFSTM的客體性(對象性)思維靶向。

通過前面的分析，得出單純從LFSTM的角度出發(fā)在化“少”的靶向上產(chǎn)生了歧義，導(dǎo)致解題陷入了困境。但是，若從客體(對象)的角度進(jìn)行分析，可以很快地確定化“少”的靶向。因?yàn)槭乔螃?2β的大小，所以等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生應(yīng)該朝著角化“少”成α和2β兩個(gè)小目標(biāo)來產(chǎn)生。于是兩式分別化為：3sin2α=cos2β，3sinαcosα=sin2β，相除即得解。

對象性—客體性思維的提高，需要個(gè)體有意識地從客體(對象)的角度分析、思考、抽象問題，建構(gòu)準(zhǔn)確的問題表征。并在反復(fù)的實(shí)踐活動中提高自己的客體性(對象性)思維。當(dāng)然，主體思維LFSTM網(wǎng)絡(luò)的完善和增強(qiáng)，以及基于文化約定的思維提升也有助于主體分析、理解客體(對象)。

(三)基于LFSTM的文化約定靶向

“約定主義認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是一種發(fā)明過程，數(shù)學(xué)的公理、符號、對象、結(jié)論的正確性，無非是人們之間的一種約定。”[17]雖然從約定主義的角度將數(shù)學(xué)看成是一種約定有其片面性，但是不可否認(rèn)約定是數(shù)學(xué)的一個(gè)屬性。文化的進(jìn)步和發(fā)展離不開社會的約定。審視數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)概念、命題、定理、方法等的提出和確定，都是經(jīng)過數(shù)學(xué)猜想、邏輯論證、交流反思后，才達(dá)成約定的。而這種約定是數(shù)學(xué)階段性發(fā)展的成果，是數(shù)學(xué)研究者、教育者或使用者通過數(shù)學(xué)交流達(dá)成的共識。譬如：數(shù)學(xué)研究者、教育者或使用者在解一元二次方程的反復(fù)實(shí)踐活動中，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用配方法、求根公式法或是分解因式法能很好地解決問題。于是在實(shí)踐活動、交流過程中慢慢地達(dá)成默契，形成共識，確定了為大家所接受的解一元二次方程的幾種常用方法。

對于文化約定靶向思維的提高，需要個(gè)體積極地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化知識、勤于實(shí)踐、樂于反思。從前人類的數(shù)學(xué)科學(xué)實(shí)踐和成果中獲得新知，豐富個(gè)體的數(shù)學(xué)文化約定知識儲備，并通過理解和實(shí)踐將約定內(nèi)化成LFSTM的范疇，成為LFSTM心理網(wǎng)絡(luò)圖示的知識與方法節(jié)點(diǎn)。

四、結(jié)語

基于LFSTM的中學(xué)數(shù)學(xué)解題靶向分為三個(gè)維度：主體維、客體(對象)維和社會歷史維。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中受到社會歷史性約束的主體首先對客體(對象)進(jìn)行理解、分析和抽象，形成問題的表象；隨后主體利用LFSTM圍繞問題的表征展開解題方法和策略的計(jì)劃、檢索、評價(jià)、調(diào)節(jié)和實(shí)踐，直到問題解決。三個(gè)維度的有機(jī)結(jié)合構(gòu)成了中學(xué)數(shù)學(xué)解題的思維結(jié)構(gòu)，三個(gè)維度互相獨(dú)立，但又可以相互轉(zhuǎn)化，互相制約，相互促進(jìn)。

基于LFSTM的主體思維、基于客體(對象)的思維和文化約定的靶向確定為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供了更具體的方向。教師可以將其應(yīng)用于習(xí)題課、試卷講評課、復(fù)習(xí)課，或是概念課的習(xí)題演練環(huán)節(jié)。學(xué)生可以應(yīng)用于指導(dǎo)等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生，為解題提供方向。▲