能實現“磁聚焦”的勻強磁場最小面積的探討

李 惠

(株洲市第二中學 湖南 株洲 412007)

1 建模

1.1 提出問題

圖1 提出問題的情境配圖

1.2 解決問題

因為磁場分布區域未知，粒子可以在勻強磁場中做一小段勻速圓周運動，再離開磁場做一小段勻速直線運動，再進入磁場中做勻速圓周運動……最后從CD邊沿+x軸方向射出磁場；粒子也可以一直在勻強磁場中，待到速度方向為+x軸方向時離開磁場.粒子入射的初速度方向不同，進入磁場的時刻不同，進出磁場的次數也無限制，所以磁場的區域會有很多種不同的分布形式，我們在尋找磁場的幾何邊界方程的過程中，尤其是磁場區域有洞的情形，會出現超越方程，只能采用近似數值解.筆者在下文中僅考慮有精確解析解的前提下來定量探討磁場的分布以及對應的最小面積.

給定磁感應強度，粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑恒定為r,且

(1)

對于從確定方向射出的粒子要達到題目要求必須要偏轉確定的角度.例如入射速度方向與+x軸方向成θ角的粒子要偏轉(θ+2nπ)后才能沿+x軸方向射出，也就是說它必須至少在磁場中走過半徑為r，圓心角為θ的一段圓弧，把所有的粒子至少需要走過的圓弧密排在一起形成的平面圖形的面積就是該磁感應強度B下對應的磁場的最小面積Smin.

接下來我們來尋求Smin與r的關系.

如圖2所示，入射方向與+x軸方向成θ角的粒子1在磁場中運動的圓弧為OF，圓心在F′,圓心角為θ，與+x軸方向成角(θ+dθ)的粒子2在磁場中運動的圓弧為OE, 圓心在E′,圓心角為(θ+dθ).當dθ→0時，兩條弧線密排形成的面積就是月牙形區域OEFO的面積.

圖2 計算粒子最短軌跡密排成的圖形面積

設為dS，其大小為扇形OEE′O的面積加上EFF′E′區域面積再加上小扇形OF′E′區域的面積，減去扇形OFF′O的面積，即

若入射粒子的速度方向與+x軸夾角從θ1到θ2分布，則密排形成的面積為S，即

r2[(θ2-θ1)-(sinθ2-sinθ1)]

(2)

(3)

若粒子入射方向為[0,π],則

S=πr2

(4)

由此可見，對于磁感應強度B為確定大小的磁場，要滿足題目要求，磁場的最小面積由式(1)、(2)確定，但磁場區域的形狀有多種可能.

2 應用

【例1】(2009年海南卷)如圖3所示，ABCD是邊長為a的正方形.質量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域.在正方形內適當區域中有勻強磁場.電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場.不計重力，求：

圖3 2009年海南卷第16題圖

(1)求勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大??；

(2)此勻強磁場區域的最小面積.

用模型解答該題：我們知道，對于確定的磁感應強度B一定有對應的磁場區域的最小面積，該題把這個一一對應關系放在獨立的兩小問中，是頗讓筆者費解的，而且磁場的分布有多種可能，此題的參考答案僅給出了一種情形，即當粒子的軌跡圓半徑r等于正方形區域的邊長時磁場區域為圓形區域的情形.筆者現就這種磁感應強度提出3組分布，且定量求出3組分布中磁場的最小面積都是相等的，具體如下.

第一種分布：如圖4陰影部分所示，假設粒子可以先做直線運動，再從(x1,y1)處進入磁場再聚集到坐標原點，則

圖4 磁場分布的第一種情形

x1=rsinθ

y1=r(1-cosθ)

(5)

這就是磁場的下邊界，它是圓心在(0，r)處，半徑為r的圓的一部分，上邊界自然是從(0，0)處射出的粒子的軌跡

(6)

上邊界如式(6)所示，二者所圍面積即磁場的最小面積

與模型中式(3)相符.

第二種分布：如圖5所示，粒子從

圖5 磁場分布的第二種情形

x=r

(7)

處邊界進入磁場，偏轉一定角度后出磁場，做勻速直線運動聚集于O點，設粒子在P(x3,y3)處出磁場，則由幾何關系得

(8)

式(6)、(7)、(8)分別作為磁場的上邊界、右邊界和下邊界，我們用積分求解其面積.

與第一種分布的最小面積相等.

圖6 磁場分布的第三種情形

(9)

(10)

面積計算如下

由以上積分可以看出，此面積與l(θ)的具體形式無關，且最小面積是個定值.也即，磁場區域中即使有有限個洞(圖7)，粒子按題目所述方式入射再聚集在O點，磁場的最小面積是個定值.

圖7 解析配圖

若是把磁感應強度增大，粒子圓周運動半徑減小，也是可以達到題目要求完成磁聚集的.例如，我們把粒子的圓周運動半徑設為R，但R

(x6-a)2+[y6-(a-R)]2=R2

(11)

左邊界為

(12)

右邊界

x8=a

(13)

粒子的圓周運動半徑R不同，磁場形狀就不同，圖8所示為可能存在的兩種情形.我們用Mathmatical軟件計算R

圖8 圓周運動半徑R不同解析配圖

設有以下4種參數對應的情形，腳本運行結果如表1所示.

表1 計算結果

可以看出，R越小，磁場面積越小，但都比本文建模得到的結論的最小面積大.也即在該解析解的情形中，粒子軌道在磁場中沒有達到密排.若要達到密排，必須由更高級方法才能達到，但可以肯定，密排之后磁場的最小面積一定如本文文首模型所述.

【例2】(2021年高考湖南卷)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關鍵技術之一.帶電粒子流(每個粒子的質量為m，電荷量為+q)以初速度v垂直進入磁場，不計重力及帶電粒子之間的相互作用.對處在xOy平面內的粒子，求解以下問題.

(1)如圖9(a)所示，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強磁場中，若帶電粒子流經過磁場后都匯聚到坐標原點O，求該磁場磁感應強度B1的大小.

(2)如圖9(a)所示，虛線框為邊長等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，-r2).在虛線框內設計一個區域面積最小的勻強磁場，使匯聚到O點的帶電粒子流經過該區域后寬度變為2r2，并沿x軸正方向射出.求該磁場磁感應強度B2的大小和方向，以及該磁場區域的面積(無需寫出面積最小的證明過程).

(3)如圖9(b)所示，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形.在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ中分別設計一個區域面積最小的勻強磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標原點O，再經過Ⅲ和Ⅳ后寬度變為2r4，并沿x軸正方向射出，從而實現帶電粒子流的同軸控束.求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應強度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強磁場區域的面積(無需寫出面積最小的證明過程).

圖9 2021年高考湖南卷第13題配圖