一維無限深勢阱定態波函數動量展開討論

單 斌 李浩博 杜 純 文艷偉

(華中科技大學材料科學與工程學院 湖北 武漢 430074)

一維無限深勢阱求解是量子力學初學者的入門問題，也是課程中必不可少的經典問題，其薛定諤方程的求解步驟，以及相關定態的空間概率分布解釋等，在各類教材中的闡述已經十分成熟和明確.但是，一維無限深勢阱定態動量概率分布卻在教學中較少涉及，相關教材和習題也巧妙避開了這個具有爭議的部分，導致學生學習過程中對于定態的動量展開存在困難以及理解的偏差.實際上，朗道[1]和泡利[2]等物理學家就對一維無限深勢阱中粒子波函數定義域的理解存在分歧，導致了該問題兩種迥異的結論.筆者在授課過程中，通過引導學生對于這個歷史問題進行了溯源和討論，并在現代的Python等數值分析工具輔助下將一維無限深勢阱定態波函數動量展開進行可視化，直觀地繪制出不同情況不同解法下粒子的動量概率分布圖，從而有效促進學生知識、能力和素質的綜合培養，在量子力學理論教學中鍛煉學生嚴謹的科學作風和解決復雜難題的實踐能力.

1 一維無限深勢阱定態動量展開問題

1.1 問題引入

一維無限深勢阱是理想化的數學模型，實際的量子點等材料體系在特定條件下也可抽象成一維無限深勢阱問題進行近似處理[3,4].該模型的勢阱可表示為

根據波函數的連續性、有界性條件，可解得粒子能量本征值及其歸一化定態波函數

現有的教材和習題充分討論了自由粒子不同形態的空間波函數及其動量分布概率[5,6].然而，針對一維無限深勢阱中的粒子的動量展開卻缺乏類似的討論.課堂教學過程中，筆者引入了開放教材網站LibreTexts上關于一維無限深勢阱的習題[7].

【例題】現有一個處于如下一維無限深勢阱中基態的粒子，求其動量分布概率.

課堂上，筆者組織學生針對展開的計算過程和結果進行分組討論.在教師的引導和學生們自發的討論氛圍下，很快形成了兩種“針鋒相對”的觀點.

一方認為，為求得波函數的動量分布概率，需要將波函數在頻域中展開為

另一方認為，一維無限深勢阱基態粒子處于定態、有兩個確定的動量值，取兩個值的概率相等，不必進行繁瑣的積分.

1.2 動量展開的兩種結論

事實上，歷史上量子力學的權威專家學者對該粒子動量分布概率及其求法亦存在分歧[8,9].朗道的觀點與學生中一方的觀點一致，即一維無限深勢阱基態粒子動量概率連續分布，勢阱中基態粒子的動量分布，從歸一化定態波函數出發可得

經變換及簡化，可得

可以看出，一維無限深勢阱基態粒子動量的泡利解是分立的兩個值、兩個取值的概率相等，而朗道解是連續的、不同取值的概率是連續分布.以上兩種推導結果完全不同，有意思的是，當粒子處于激發態時，兩種結論將表現出一定的共性，經過解析推導，n≥2時朗道解可表示為[10,11]

則相應的概率密度為

|φn(p)|2=

或可近似由下式給出

|φn(p)|2≈

式中

2 動量概率分布的可視化

課堂上關于一維無限深勢阱動量概率分布的兩種理解討論頗為激烈，由于公式的復雜性，學生們沒有對兩種不同解法的差異有一個定量和直觀的理解.為了彌補這方面的不足，鍛煉學生獨立解決問題的能力，筆者布置了課后的學習任務，引導學生查閱國內外文獻以及調研一維無限深勢阱粒子動量概率分布的研究現狀.同時，通過JupyterLab平臺編寫了Python程序框架，引導學生們探究不同能級n及勢阱寬L下一維無限深勢阱粒子動量概率分布并進行結果的可視化，以深入理解n=1時泡利解與朗道解的差異，認識n≥2時二者展示出的共性.

由于物理常數的改變一般不影響理論的形式，為方便求解，設定程序中的?=1，得到的結果如下.

表1 L=2，?=1時粒子動量分布概率相關信息

圖1 設L=2，?=1時粒子動量分布(橫軸、縱軸取任意單位)

不隨n變化.L一定時，隨著n增大

不斷減小，此時測得

的概率亦增大；當n→∞時，可理解當且僅當

時，動量分布概率不為零.故可視化結果與理論吻合良好，隨著n增大，泡利解逐漸趨于朗道解.所以實際上，這兩種不同的物理圖像并不是完全相互矛盾的，而是在漸進的條件下取得了一致的收斂.

圖2 設n=1時粒子動量分布(橫軸、縱軸取任意單位)

圖3 設n=50時粒子動量分布(橫軸、縱軸取任意單位)

表2 n=1及n=50時粒子動量分布概率相關信息

3 結束語

筆者以“一維無限深勢阱定態波函數動量展開”問題為例，引導學生利用Python等現代信息技術工具和中英文在線教學資源，揭示了n=1時該問題泡利解與朗道解的差異，以及n≥2時二者展示出的上述共性.教學過程中，豐富的教學手段充分激發學生的學習熱情，鼓勵勇于探索、勇于質疑的科學精神，通過辨析兩種解的異同學會辯證思考科學理論，成功將科學精神、團隊意識、協作精神等融入課堂，做到了“潤物細無聲”.整個課程教學中，筆者結合線下的知識傳授、分組討論以及線上的自主學習方法進行混合式教學，激發學生自主學習意愿，培養學生創新意識.同時，引入中文和英文雙語資料、介紹與課程知識相關的拓展討論，注重學生綜合能力的培養.此外，鼓勵學生自主學習和合理使用Python等現代信息技術工具，將學習的主動權移交給學生，通過查閱資料、自主模擬深入理解課堂內容，生動實踐了“翻轉課堂”的理念.正是這種創新的教學理念，讓課程組負責的量子力學課堂多次獲得校教學質量一等獎、學生最滿意課堂等榮譽，學生對課堂好評如潮.