信息化背景下的等比數(shù)列教學(xué)

姚冠羽

在信息化大背景下，涌現(xiàn)出許多新的教學(xué)方式，其中以“問題鏈”為代表的教學(xué)方式被廣泛應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，下面以《等比數(shù)列》一節(jié)為例，對在信息化背景下的問題鏈教學(xué)進(jìn)行介紹。

1 課前準(zhǔn)備

教材分析：

《等比數(shù)列》選自人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊5.3.1 ，是數(shù)列章節(jié)的重要組成內(nèi)容。學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，掌握等比數(shù)列相關(guān)知識，為接下來研究學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和提供了基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容對進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、分析問題的能力有很大的幫助。

學(xué)情分析：

在教學(xué)內(nèi)容上，學(xué)生已經(jīng)對數(shù)列的概念以及等差數(shù)列有所了解，對數(shù)列有了初步的認(rèn)識。

在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，通過等差數(shù)列內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步初步具備了特殊數(shù)列的研究技能和研究方法，但由于學(xué)生思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有限性，多數(shù)學(xué)生仍然需要教師的引導(dǎo)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)及其通項(xiàng)公式等內(nèi)容。

2.通過導(dǎo)學(xué)案中層層遞進(jìn)的問題鏈，運(yùn)用類比的思想方法，學(xué)生在思考、合作、討論、總結(jié)中完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。

3.在觀察問題、思考問題、解決問題的過程中，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)工作落到實(shí)處。

教學(xué)重難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義及其符號表示、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式以及它們的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列五個(gè)量中的“知三求二”;等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

2 教學(xué)過程

關(guān)于等比數(shù)列的傳說，可以追溯到很久以前的一個(gè)例子。

在古時(shí)候，有一位聰明睿智的臣子研究出了國際象棋，國王就打算用黃金獎賞。可這位大臣拒絕了，說道：“臣不需要黃金，只要些許麥粒即可。”大臣說：“請陛下您在棋盤的左上角第一個(gè)格子里放置1顆麥粒，在第二個(gè)格子里放置2顆麥粒，第三個(gè)格子里放置4顆麥粒，第四個(gè)格子里放置8顆麥粒……以此類推，一直放到棋盤右下角第64個(gè)格子為止”

問題1：在每一個(gè)格子內(nèi)的麥粒個(gè)數(shù)依次為：1，2，4，8，16，32……請問這組數(shù)有何特點(diǎn)？

當(dāng)然，僅憑這一組數(shù)列是無法歸納出等比數(shù)列的本質(zhì)特征的，概念的形成需要在大量實(shí)例的基礎(chǔ)上進(jìn)行。因而，在這個(gè)故事的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)行了后續(xù)改編，得到了另一組等比數(shù)列的實(shí)例。

棋盤事件讓國王顏面盡失，但國王非常好學(xué)，通過學(xué)習(xí)，他對這種數(shù)列有了新的認(rèn)識，于是他又召見了大臣，說：“我很遺憾國庫里沒有這么些麥子，但我這里有一根1米長的金手杖，我決定在10天之后把他賞賜給你，但從今天起，我每天要拿走金拐杖的一半[1]。”

問題2：將金拐杖每天的長度排成一組數(shù)列，依次為：同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)這組數(shù)的特點(diǎn)嗎？

問題3：比較上述兩組數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)有什么樣的共同特點(diǎn)？

問題4：通過分析、比較上述兩組數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的概念，你能給出等比數(shù)列的定義和特征并用符號語言來表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過大臣和國王之間這個(gè)妙趣橫生的小故事，學(xué)生在新穎有趣的情境下觀察等比數(shù)列的特征，類比上節(jié)課學(xué)習(xí)過的等差數(shù)列的概念，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生小組討論用符號化和抽象化的語言歸納出等比數(shù)列的定義及其符號表示，同時(shí)指出。

問題5：將上面兩組等比數(shù)列的前五項(xiàng)依次表示出來并觀察，是否能嘗試寫出等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過觀察等比數(shù)列的前五項(xiàng)，可歸納出等比數(shù)列通項(xiàng)公式，并由教師在黑板上列出關(guān)鍵內(nèi)容，強(qiáng)化學(xué)生的記憶。

問題6：請同學(xué)們結(jié)合等差中項(xiàng)的概念歸納什么是等比中項(xiàng)并用符號語言來表示。

設(shè)計(jì)意圖：將等比中項(xiàng)的定義交給學(xué)生，由學(xué)生解決，這樣才能觸發(fā)發(fā)學(xué)生的思維節(jié)點(diǎn)，使學(xué)生對等比數(shù)列的定義有了更充分的理解，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：通過例1，加深學(xué)生對等比中項(xiàng)的認(rèn)識，與等差中項(xiàng)的區(qū)別在于，等比中項(xiàng)是由互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)構(gòu)成。例2則是對本節(jié)內(nèi)容的綜合考察，通過此題教師點(diǎn)撥等比數(shù)列中的“知三求二”，加深學(xué)生對本節(jié)等比數(shù)列的認(rèn)識。

問題7：總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，反思你的收獲。

課后作業(yè)：課后練習(xí)A 1，2，3;練習(xí)B 1，2

3 教學(xué)反思

一方面，本節(jié)課在基于問題鏈的導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)上，將“問題鏈”做到了精心雕琢，力爭使其中所設(shè)計(jì)的問題數(shù)學(xué)化、情感化、生活化。努力做到讓每一位同學(xué)都能積極的參與到課堂中來，體會到數(shù)學(xué)探索研究帶來的快樂和滿足。

另一方面。等比數(shù)列的教學(xué)是在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列相關(guān)的推導(dǎo)思路和知識框架，因而在本節(jié)課的設(shè)計(jì)上突出強(qiáng)調(diào)了類比教學(xué)。可以充分凸顯學(xué)生的主體地位，放手讓學(xué)生結(jié)合等差數(shù)列及其相關(guān)性質(zhì)，運(yùn)用類比來探索研究等比數(shù)列。在這個(gè)過程中，更有利于學(xué)生構(gòu)建更為科學(xué)有序的知識體系。

參考文獻(xiàn)

[1] 楊玉東，王兄.運(yùn)用關(guān)鍵性教學(xué)事件分析支撐中國式數(shù)學(xué)課例研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（3）CA604248-35A4-463F-A815-3CE3AFA4CF68