基于學科融合的太陽高度角、太陽方位角公式推導
——以2020年11月金華十校高三地理試題為例

莊炎昊

（浙江金華第一中學, 浙江 金華 321015）

高中地理，是一門嚴謹的綜合性學科。“地理學之父”埃拉托色尼曾精確測算出地球周長，開創并奠定了地理學的數理基礎。在高中地理教學中，當定性分析不足以解決極限狀態問題時，數學仍然是定量認識、解決地理問題的良好視角和工具。通過關聯數學知識，學生可以認識到地理學科的數理性，有助于培養學生的抽象思維和空間想象能力，促進其綜合發展。

一、原題呈現

讀浙江省某校操場17:20（地方時）拍攝到的日照景觀圖（見圖1），完成24、25題。

圖1 日照景觀圖

24.此時籃球架影子的朝向為（ ）

A.東南 B.東北

C.西南 D.西北

25.拍攝此照片的日期最可能是（ ）

A.3月15日 B.6月15日

C.9月15日 D.12月15日

參考答案：A、B

二、卯酉圈法

根據題意，首先解25題，AC選項日期接近春、秋分，17:20均將日落，太陽高度角應明顯小于圖中所示，而D選項日期的太陽高度角更小，甚至可能在地平線下，因此拍攝日期最可能為6月15日。在此基礎上，下面以30°N，6月15日背景，推斷籃球架影子的朝向。

首先采用卯酉圈法解題。如圖2所示，B為30°N該日周日圈的圓心，A點、C點為周日圈與卯酉圈的交點，時間分別為當地時間18:00和6:00。由此估計17:20太陽大約在Q處，約10°，因此太陽在西北天區，籃球架影子朝向東南。

圖2 卯酉圈法解題示意圖

卯酉圈法的優點在于能夠快速地得出6:00時、18:00時太陽在天球上的位置，即C、A兩點，從而判斷與此時相近時間太陽在天球的位置，進一步判斷日影朝向。但對于其他時間，如9:00、15:00等時刻的日影朝向，此法則無法準確定位。

三、三角函數法

此題中若能知道太陽位于正東、正西方位的地方時，則可快速推斷17:20的太陽方位。

基于此，筆者采用三角函數推導得出公式，可定量計算任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ）太陽處于正東、正西方位的地方時。

針孔模型是攝像頭的最簡單模型。其原理是,光線從場景或物體發射過來,經過一個點可認為針孔,被投影到成像表面,在圖像平面上,圖像被聚焦。因此與遠處物體相關的圖像大小可以只用一個攝像頭參數來描述:焦距。

圖3 三角函數法解題示意圖

下面筆者以該日太陽到達正西方位為例，求算∠JBF的大小。推導過程如下：

驗證：在金華十校題中，若該地為杭州（30°N），日期取6月15日，則φ=30°，δ≈21.5°。

所以，太陽在正西方位的地方時為12:00+46.9°×4°/min≈15:08，遠早于題目中給的17:20。因此，當地方時為17:20時，太陽已經位于西北天區，影子的朝向應為東南。根據此公式可定量計算出任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ）太陽處于正東、正西方位的地方時。

四、太陽高度角、方位角計算公式推導

為解決這一問題，必須將邊角關系放入天球中，且運用部分球面三角形的公式定理。因此在此引入球面三角形邊的余弦公式，如下：

圖4 球面三角形邊的余弦定理示意圖

圖5 太陽位于L點時的天球示意圖（推導太陽高度角）

Z為天頂，連接ZL并延長，與地平圈相交于K，ZK為地球大圓的1/4，因此，所對圓心角∠LOK即為此刻太陽的高度角，記為h。△PZL即為天文三角形，是計算天體周日運動問題的重要三角形。[1]

上式即任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ）、任意時角角度（t）的太陽高度角計算公式。

圖6 太陽位于L點時的天球示意圖（推導太陽方位角）

在球面△LNK中，根據邊的余弦公式關系可得：

接下來把∠β放入球面△NPL中，根據邊的余弦公式關系可得：

綜上，已知任意緯度（φ）、任意日期（太陽直射緯度為δ），任意時角角度（t），求算太陽高度角（h）及方位角（α）的公式如下。

時角角度t所對應的地方時有上午、下午兩類，且關于12:00對稱，所以根據公式一求得的h值也代表了上、下午地方時的太陽高度。因此，在公式二中，0°＜α＜180°時，表示上午，180°＜α＜360°時，表示下午。

綜上所述，樹立學科間融合的教學思想，不僅能夠促進教師主動反思教學過程、探究和創新教學方法、豐富教學內容、提高教學效率，而且有助于教師地理素養和綜合素養的提高。