Nesterov快速迭代信道估計算法*

劉春華，曹海燕

（杭州電子科技大學，浙江 杭州 310018）

0 引言

大規模多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系統因天線數量級的提高獲得了更高的復用能效，具有可靠性高、系統容量大的特點，已經成為5G系統的關鍵技術。較準確的信道狀態信息（Channel State Information，CSI）的獲取是充分發揮大規模MIMO優勢的前提條件。在毫米波通信中[1]，由于毫米波頻率較高、波長短、傳輸過程受到物體遮擋的部分和散射部分的損耗大，視距傳輸（Line-Of-Sight，LOS）為主要的傳播方式。數學上的表現是，信道矩陣經過奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）后呈現低秩特性，并且在角度域上是稀疏的。然而，由于信道矩陣維度的增大，傳統的估計方法如最小二乘（Least Squares，LS）估計、最小均方誤差（Minimum Mean Squared Error，MMSE）估計等因求逆過程的極高復雜度遇到了瓶頸[2]。為了充分利用信道矩陣的低秩特性，文獻[3]和文獻[4]將信道估計問題建模為低秩矩陣完整化問題，通過求解矩陣的核范數最小化問題進行信道估計，該方法可以有效提高估計性能，但計算復雜度過高。文獻[5]提出了一種角度量化的信道估計模型，并通過正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）估計信道矢量，然而貪婪算法往往需要預先知道信道的稀疏度，實際通信系統中難以實現。理論分析表明[6]，將毫米波MIMO通信系統中的信道估計問題轉化為稀疏線性求逆問題，并通過壓縮感知原理求解，可以高效準確地估計結果，有效提高估計性能。

在信號處理領域中，利用壓縮感知模型求解欠定方程，從而基于較少的觀測值來重構信號的方法獲得了廣泛的研究。壓縮感知理論通過開發信號的稀疏特性，在遠小于Nyquist采樣率的條件下，用隨機的采樣矩陣得到離散樣本，然后通過非線性重構算法完美地重建信號。文獻[7]提出了交替方向（Alternating Direction Method，ADM）搜索算法，文獻[8]提出了迭代閾值算法（Iterative Thresholding Algorithm，ISTA）。文獻[9]提出了一種快速的迭代閾值收縮算法（Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm，FISTA），加速了算法收斂過程。文獻[10]提出了L1范數正則化算法，文獻[11]提出了二次規劃梯度投影稀疏重建（Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR）算法。

上述稀疏求逆問題由于L1范數是無法直接求導的，因此設計的算法往往具有較高的復雜度。為了解決這個問題，Nesterov在1983年發表了一篇關于解決動量問題的論文[12]，提出了Nestrov梯度加速法。該方法先根據之前的動量進行大步跳躍，然后計算梯度進行校正，從而實現參數更新。這種預更新方法能防止大幅振蕩，不會錯過最優解，并在加速算法收斂的同時，保證了迭代結果始終在收斂域中。

本文利用Nesterov平滑過程將L1范數轉換為易于求導的形式，即用可直接求導的平滑函數代替L1范數，并基于改進梯度下降法提出一種可以快速收斂的迭代算法。

1 大規模MIMO系統模型

在單小區單用戶的MIMO系統中，采用如下參數化信道模型：

寫成矩陣的形式，則為：

式中：NT為發送天線數；NR為接收天線數量；L為路徑數；αl為第l條路徑的復高斯增益；其中，AR為接收角度矩陣，AT為發送角度矩陣，Ha為復高斯增益的對角矩陣；aR為接收陣列矢量；aT為發送陣列矢量；分別為第l條路徑的到達角（Angle of Arrival，AoA）和離開角（Angle of Departure，AoD）。假設采用的是均勻線性陣列（Uniform Linear Array，ULA），即：

式中：X=I為發送導頻其中，I為單位矩陣；N為高斯白噪聲，其均值為0，方差為σ2。

為了得到滿足稀疏特性的信道矩陣，需要對H進行量化處理，通過構建虛擬的到達角矩陣發射角矩陣，得到量化的信道矩陣為：

式中：h為矢量化信道矩陣；e為矢量化誤差矩陣；n為矢量化噪聲矩陣。

向量化的接收信號可以表示為：

式中：A為感知矩陣。

量化后的角度矩陣為：

2 基于Nesterov的信道估計算法

2.1 Nesterov方法

對于任意的平滑凸函數f在凸集S上的最小化過程：

式中：S為原始可行集。f是連續可微的，梯度 ?f滿足Lipschitz條件[13]，即：

Nesterov迭代過程見算法1。

壓縮感知問題可以通過優化問題求解，考慮如式（11）中的二次約束l1范數最小化問題，即在誤差小于閾值的情況下最小化信道矢量的l1范數。

然而，l1范數是非平滑函數，即在某點不連續。為了克服這個問題，Nesterov提出了Nesterov平滑操作[14]，該方法通過平滑近似取代原始的非平滑函數，將l1范數改寫成如下函數：

式中：Sd={u:||u||∞}≤1；u為優化變量。該函數的Nesterov平滑形式可以寫成如下函數：

fμ是統計學中常用到的Huber損失函數[15]，其梯度滿足Lipschitz條件，因此fμ符合Nesterov迭代過程的條件。這樣就完成了從壓縮感知優化問題到Nesterov迭代過程的轉化。

算法1中的步驟2和步驟3可通過拉格朗日乘子法得到具體計算公式，每次迭代的常數αk，τk及μk將在仿真參數列表中給出。

2.2 壓縮感知優化問題的轉化

在原始算法中，為了計算yk，需要求解如下優化問題：

式中：xk為上一次迭代的結果。這個問題的拉格朗日形式是：

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求解法問題的KKT條件是：

從穩定性出發，yk是如下線性系統的解：

顯然，式（18）中由于沒有矩陣求逆運算，計算yk的計算量降低。同樣可以得到zk的更新過程為：

3 仿真實驗及分析

本文信道矢量重構的誤差采用歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）作為算法誤差的判斷方式，其表達式如下：

表1 實驗參數設置

發送端和接收端均采用統一線性陣列（Uniform Linear Array，ULAs），虛擬發射角和虛擬到達角的量化值為G，即對發射角（或到達角）θ=(0,π]的余弦值等間隔量化，間隔為1/G。復高斯增益αl～N(0,1)，發射天線和接收天線數Nt=Nr=32，稀疏度L=5。仿真算法均在參數不變和概率分布一致的情況下取100次平均得出結果。

當稀疏度固定為L=5時，分別采用FISTA算法、ADM算法、NESTA算法和貪婪OMP算法進行對比，得到的仿真結果如圖1所示。可以看到OMP算法在低信噪比（-10～5 dB）時，其NMSE估計性能與NESTA算法基本相同，并且優于另外兩種迭代算法大約10 dB。此后OMP算法的NMSE估計性能基本保持不變，維持在-10 dB左右。3種迭代算法則一直保持直線趨勢下降，在高信噪比（大于5 dB的情況下）ADM和FISTA算法性能優于OMP算法。NESTA算法性能則始終優于另外兩種迭代算法3～10 dB，在低信噪比的情況下NESTA算法有著與OMP算法基本相同的性能。仿真結果表明，NESTA算法不僅在低信噪比條件下有著同貪婪算法相同的性能，而且在高信噪比條件下也能持續降低NMSE，相比于同類的迭代算法有著很大的性能提升。

圖1 不同信噪比下NESTA算法與其他算法的比較

當稀疏度固定為L=5，信噪比固定為10 dB時，如圖2，對比不同的迭代算法達到預期NMSE性能所需要的迭代次數可以看到，FISTA算法隨著性能的提升，所需要的迭代次數大幅度增加，這是因為該算法為避免過剩的迭代需要預先設置最大迭代次數。ADM算法采用牛頓迭代法，每次迭代重新計算更新方向和迭代步長，因此可以大幅度削減迭代次數。NESTA算法采用了分步驟更新修正的方法，同時前文分析表明，算法收斂的速度只與權重因子μ有關，通過降低μ值可以加速算法收斂。

圖2 不同信噪比下NESTA算法與其他算法迭代次數的對比

圖3給出了在相同的信噪比條件下，當稀疏度L變化時，不同算法的ENMSE。可以看出，在相同的稀疏度情況下，NESTA算法有著更好的性能。

圖3 不同稀疏度條件下算法性能比較

表2為稀疏度L=5的情況下，不同的信噪比條件下算法運行時間的比較。可以看到，ADM算法隨著信噪比的增加，運行時間不斷增大，這是因為ADM算法每次迭代更新方向時都要重新計算一次矩陣求逆過程，這種求逆在矩陣維度較大時復雜度很高。越是精確的結果，矩陣求逆過程計算時間越長。

表2 4種算法在不同信噪比下的運算時間比較

4 結語

本文研究了大規模MIMO系統，運用無線信道的低秩特性，提出了一種快速迭代的Nesterov平滑加速迭代算法。對比實驗表明，所提算法相較于正交匹配算法有很大的性能提升。此外，本文采用了合適的策略加快了算法收斂速度。下一步將研究投影梯度算法，進一步優化算法性能以及迭代算法在神經網絡中的應用。