磋磨之中品數學課堂的“教、學、問”
——“倍數與因數”一課的思考

楊星仙

（義烏市楊村小學 浙江義烏 322000）

一、以學定教

以學定教就是依據學習的內容和學生的情況來確定教學的起點、方法和策略，有所教，有所不教。

1.教什么？

教什么？我國著名數學教育家張奠宙先生提出：數學有三種形態，即原始形態、學術形態、教育形態，并曾多次強調：教師的根本任務在于把數學的學術形態轉化為教育形態。但是作為日常教學藍本的教材所承載的數學卻往往是一種介乎學術形態與教育形態之間的過渡形態，如何將它轉變為學生易于接受的教育形態則是我們關注的焦點。

在第一次磨課后，我發現了問題：通過前面的教學，學生已經能夠通過乘法算式順利地說出誰是誰的倍數，誰是誰的因數。緊接著，我安排了一道習題：說一說9和36，誰是誰的倍數？誰是誰的因數？學生回答：36是9和4的倍數，9和4是36的因數。學生的回答有點讓我驚訝，題目明明問的是9和36的關系，學生為什么非得要把4給扯上呢？我追問：36是9的倍數嗎？學生一致回答：不是，36是9和4的倍數。學生的回答不禁讓我深思：一方面，學生并沒有真正意義上理解倍數與因數的關系，只是在模仿定義而已；另一方面，北師大版的教材采用乘法算式來揭示“因數”與“倍數”的概念，有沒有可能對學生有負向遷移的作用？

我研究了一課研究團隊潘可可老師的文章——“因數與倍數現行教材對比分析”。北師大版并沒有對“整除”下定義，而是通過情境中的一道乘法算式直接給出“倍數”和“因數”的概念。“9×4=36，36是9和4的倍數，9和4是36的因數。”人教版則利用除法算式給出概念的意義。“在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。”事實上，乘法算式與除法算式關系極其密切，乘除法本身就存在著互逆關系，兩者可以相互轉化。因此，借助整除來引出“倍數與因數”和“倍數”“因數”的產生背景是本質上的統一而表達形式上的不同。無論用哪種形式，倍數與因數關系的本質是兩個數可以整除。

經過團隊慎重討論，結合自己的教學經歷，我決定選用人教版的教材。

2.怎么教？

（1）學習的內容決定了教學方法

倍數與因數是一節概念課，目標是聯系乘、除法認識倍數和因數。北師大版教材在情境后直接出示了倍數和因數的定義。人教版教材在分類活動后，也直接呈現了倍數和因數的定義。進一步理解，這是一堂以學習陳述性知識為目標的課。

心理學中，我們把知識分為陳述性知識和程序性知識。陳述性知識也叫描述性知識，它的心理過程主要是記憶。換句話說：倍數與因數就是陳述性知識，我們只需要記住就行了。從這個角度來看，這堂課是教師授課還是學生自學區別不大。

（2）學生的學情決定了教學方法

著名心理學家皮亞杰在其“發生認識論”中明確指出：“10歲左右的兒童已基本具備了形象思維的能力，并成長著邏輯思維的綠蔭。”四年級的孩子已然具備主動學習和思考的能力，這使學生自學形式的教學成為可能。

經過幾次磨課，我最終決定用課堂自學的形式，放手讓學生自主學習來獲取知識。

二、以問促學

劉開于《孟涂文集》中云：“君子學必好問。問與學，相輔而行者也。非學無以致疑，非問無以廣識。”意思是問和學是相輔相成地進行的，不學就不能提出疑難，不問就不能增加知識。

恰逢顧志能團隊送教下我校，給我們帶來了“學生提問，以問引學”課堂模型和理念。于是，現學現賣，以問促學就具有了兩重意思：我們教師如何在問題的驅動下有效促進學生的深入思考呢？怎樣利用好學生的提問呢？我把這些先進的教學理念融入了我的課堂中。

教學實錄片段1：

1.問題導入，激起求知欲

師：看到這個課題，你想知道什么？

生：什么是因數？什么是倍數？（板書：是什么 ？）

生：他們是什么關系？（板書：關系？）

生：什么時候會用到因數與倍數？（板書：應用？）

師：同學們很會提問題，讓我們帶著這些問題來自學……

（設計意圖：①培養學生“問”的能力，發現問題，敢于提問。②讓學生自己來提問，然后研究自己提出的問題，“學為中心”“生本課堂”也才會成為現實。）

2.問題引領，自主探知

師：自學結束，接下去檢驗一下大家的自學成果。看大屏幕：（出示PPT）你能給這些算式分分類嗎？思考一分鐘。

①24÷4=6 ②8÷3=2......2 ③30÷5=6 ④9÷5=1.8

⑤ 63÷9=7 ⑥20÷10=2 ⑦2÷0.5=4 ⑧21÷21=1

師：你來？

生：我覺得1，3，5，6，7，8歸為一類。

生：7不是的。

師：哦，原來是出現爭議了。沒關系，我們先把沒有爭議的定下來。

（PPT演示，留著在上面）

師：為什么我們把這些算式放在這一類？（指著第一類）

生：他們沒有余數。

師：很好，這也就是我們為什么把8÷3=2......2放在第二類（板書：沒有余數）。

師：誰還有補充？

生：整數的除法，所以被除數、除數都是整數。

生：商是整數也沒有余數。

師：說得好。不是所有的數都有倍數、因數關系，他們是有條件的。只有當被除數、除數、商都是整數，而且沒有余數時，這樣的算式才存在“倍數與因數”關系。

（板書：被除數、除數、商 整數）

師：那現在來回答2÷0.5=4屬于哪一類？

生：第二類。

師：這些算式有倍數、因數關系，那么他們誰是誰的倍數，誰是誰的因數呢？還是以24÷4=6為例。

生：24就是4的倍數，4就是24的因數。

生：24就是4和6的倍數，4和6是24的因數。

師：似乎有不同的意見。沒關系，先放一放，一會我們再來研究。

師：通過剛才的學習，同學們對倍數與因數有了基本的了解。

（設計意圖：用眼睛看得到的信息并不一定是正確的，用問題來促進思考，通過思維加工后留下的，才是真正的知識。本環節我對教材上的分類材料進行了加工，用問題促使學生明晰倍數與因數的概念：出示變式算式后，再讓同學們來分一分類。同樣也是分類，但是卻用了變式，這就增加了知識難度，實際上是考查學生對倍數因數的定義理解。通過反饋讓學生建立正確表象，體會倍數與因數的本質涵義——整除，進一步讓學生感知“倍數因數關系是有條件的，并不是所有的數都有這種關系”，最終突破了本堂課的難點。）

3.問題驅動，交流明知

問題驅動：辨一辨：下面的說法正確嗎？請說明理由。

①因為36÷4=9，所以36是倍數，4是因數。（）

②因為7×8=56，所以56是7和8的倍數，7和8是56的因數。（）

③因為0 ÷7=0，所以0是7的倍數。

獨立完成后，

話題一：因為36÷4=9，所以36是倍數，4是因數。（× ）

師：這句話正確嗎？

生：我覺得對，因為這個算式是整數除法算式。

生：1還沒講完，沒說36是誰的倍數，4是誰的因數。

生：這句話沒有明確36的倍數是誰，那可能就是錯的。

師：對的，這句話沒有說清楚誰是誰的倍數，誰是誰的因數。那怎么改是正確的？

生：36是9的倍數，9是36的因數。

師：對，說關系的時候要清楚誰是誰的倍數，誰是誰的因數。

話題二：因為7×8=56，所以56是7和8的倍數，7和8是56的因數。（√ ）

師：這句話究竟是對還是錯？

生：錯的，這里沒有除法算式。

生：對的。因為7×8=56，也可以寫成56÷7=8，所以56是7的倍數，7是56的因數。

師：還有補充嗎？

生：因為7×8=56，也可以寫成56÷8=7，所以56是8的倍數，8是56的因數。

師：所以56既是7的倍數也是8的倍數，7和8都是56的因數。

師：答錯的同學，你同意他們的說法嗎？

生：同意。

師：（指著黑板上的算式）那么24÷6=4這個算式還可以寫成為24÷4=6。所以，……

生：24既是6的倍數還是4的倍數，6和4都是24的因數。

師：那么剛才那位同學的說法可以嗎？

生：一致同意，可以的。

（設計意圖：在本環節設計了判斷題，討論使人明辨，問題驅動學生思考。通過問題辨析，學生對倍數與因數更加明晰、更加深刻，為后面知識的應用打好基礎。）

4.問題解決，鞏固新知

（1）接下來，我們來做一個互動。老師出示兩個數字，請你快速說出誰是誰的倍數，誰是誰的因數（出示卡片）。舉 例：64和8、28和7、1和19、33和3、9和9、18和4、8和a。挑戰自我：8和a。

（2）你能說出所有1，2，3，6之間的倍數和因數的關系嗎？

（3）研究學號之間的倍數因數關系，從而得到更多的規律。比如：一個數的倍數是無限的，一個數的因數個數是有限的，2、3、5的倍數特征等。

（設計意圖：問題驅動，層層遞進，提升學生思維。①請學生說出a和8的因數倍數關系。當問題出來的時候，立馬有學生質疑當a=3的時候，沒有倍數與因數的關系。于是，我順勢提出問題：那么a取哪些值的時候，a和8有倍數因數的關系呢？當學生在實踐的時候發現可以發現，a可能是8的倍數，8也可能是a的倍數，由此分成兩類討論。這道題滲透了學生分類討論的思想，此外又為求倍數與因數埋下了伏筆。②找出1，2，3，6之間的所有的倍數因數關系，并通過這些關系發現一些規律。這道題培養學生有序、全面思考的能力，并為后面找因數、找倍數教學做了鋪墊。）

三、教學相長

1.教學相長就是要處理好教師和學生的關系

在校外借班上公開課，最怕就是學生冷場。課堂上教師和同學有距離感，那么這堂課就要打折扣了。反之，教師和學生有情感流動，那么這堂課才富有生命力。那么，怎樣快速地與彼此陌生的孩子們建立起這種關系呢？由于這堂課內容是數與數的關系，我便從人與人的關系入手。受楊凱明導師啟發，我設計了課前互動環節：先由學生介紹自己，然后老師出示一家三口照片，猜一猜人物關系，最后引出本堂課的課題——數與數之間的關系。課后，同學們和我一一說再見。有個同學跑上來期待地問我：老師，你還會來給我們上課嗎？我欣慰答道：一切皆有可能，不是嗎？生活的小確幸不就是“再來一份”嗎？

2.教師“教”和學生“學”的關系

新課標指出：教師必須牢固確立以學生為中心的教育主體觀、以學生能力發展為重點的教育質量觀、以完善學生人格為目標的教育價值觀。我始終認為教育的本質是教學生學，更重要的是教學生自己學。我認為本堂課的創新點是學生的自學。但是如何指導學生進行自學呢？尤其這是一堂公開課，班上學生的情況是未知的，而且學生自學的能力良莠不齊。基于以上考慮，我安排了自學攻略，現場對學生自學做指導——①閱讀材料后，嘗試理解里面的內容；②用橫線劃出關鍵句和關鍵詞；用記號標出不懂的和要提醒大家的地方。在平時授課時，我們也可以根據課的知識類型，處理好教與學的關系，激發學生的學習積極性[1]。

四、磋磨之中悟真義

有匪君子，如切如磋，如琢如磨。怎么引入？怎么突破重難點？怎么設計練習？怎么進行互動銜接？怎么設計板書？……我修改了6次教案，磨了5個班的課。每次磨完一節課，我都能發現新問題；每解決一個問題，我對“教、學、問”三字的內涵就多一分理解；每多一分理解，我更能體會到處理好“教、學、問”三者關系的重要性。期間，我們經歷過失敗后的低落、困頓后的迷茫、嘗試后的驚喜、沖破后的自信、努力后的蛻變。是的，一堂課的滋味就是如此美妙！

教育亦如烹小鮮，同樣都是煎炒炸，廚藝顯高低。路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。