單層輪輻式索網結構形狀確定研究

張佳毅，鄒貽權

(湖北工業大學土木建筑與環境學院，湖北 武漢 430068)

近年來隨著我國綜合國力的增強和計算機技術的進步，結構理論分析方法和施工技術等得到長足的進步，由于我國體育事業的發展，各類輕質、高強、大跨建筑隨之出現。因索結構具有自重輕、節省材料、施工便捷能夠適應多樣化的建筑造型等優點引起了廣大設計人員的興趣，越來越多的應用索結構屋蓋的大型體育場館相繼出現[1]。但索結構屬于柔性張拉結構，必須施加一定的預應力才能形成承受外部荷載所需的剛度和形狀[2]。因此確定索結構零狀態、初始態、荷載態的幾何形狀是索結構的結構設計的過程中需要解決的關鍵問題。索結構其類型主要有：單層索系、雙層索系、索桁體系等結構體系。其中單層輪輻式索網結構應用得最晚，該結構形式在賈比爾.艾哈邁德體育場才得到首次應用。通過賈比爾.艾哈邁德體育場曾無法通過驗收的現象可以從側面體現單層輪輻式索網結構的相關理論方法與施工技術仍有所欠缺[3]。在單層輪輻式索網結構的相關研究中，其更多的是研究改進力學找形方法并利用有限元分析軟件加以實現。

在現有的找形方法用于索桿體系時常使用平衡矩陣理論[4]，力密度方法[5]和動力松弛方法[6]進行計算時。這些方法的研究主要應用于索膜結構和索網結構，針對單層輪輻式索網結構的效率較低。

隨著計算機技術的發展，越來越多的設計人員開始使用參數化設計工具進行設計。相比于傳統有限元分析軟件，RHINO和Grasshopper所提供的參數化平臺可以大大地提高設計建模和分析的效率，更易實現單層輪輻式索網結構形狀確定的找形方法[7]。

本文擬對單層輪輻式索網結構(圖1)的找形方法和原理進行較為全面的闡述，并在參數化設計平臺RHINO和Grasshopper上結合算例證明方法的適用性。

圖 1 輪輻式單層索網結構軸測圖

1 單層輪輻式索網結構初始形態確定

對于索網結構的初始形狀的確定問題，其實質是在索網的幾何構形中形成合適的預應力分布使之成為一個自適應平衡體系。單層輪輻式索網結構與索膜結構及正交索網結構不同，通常索網結構的初始形狀確定的問題是在給定的邊界條件下進行，尋找符合初始態平衡條件的幾何形狀和與之相對應的預應力分布[8]。

然而，對于單層輪輻式索網結構而言，其初始態幾何形狀具有一定的獨特性。在結構的平面投影和外圈壓環的節點坐標確定的條件下，則可以確定唯一的內環索節點坐標，從而確定唯一的單層輪輻式索網結構的空間幾何形狀。

因此單層輪輻式索網結構在已知支座節點X、Y、Z及內環索節點X、Y坐標的條件下，可合理利用該幾何特性，確定其初始狀態下的幾何位形。該幾何特性可被稱為“共點三索共平面”原理。

1.1 共點三索共平面確定原理

“共點三索共平面”原理主要利用的是拉索的節點平衡。對于兩根共節點的懸索，其索力大小均大于零時，索力可在一維空間平衡，形成一維的索結構(圖2a)公式為：

F1+F2=0

(1)

對于三根共節點且不共線的懸索，其索力大小均大于零時，因“共節點的三根索共面”，索力可在二維平面上平衡，形成平面的索結構(圖2b)，公式為：

(2)

對于共節點且不共面的懸索，其索力均大于零時，索力可在三維空間平衡，形成空間的索結構(圖2c)，公式為：

圖 2 索結構

(3)

1.2 單層輪輻式初始態幾何確定方法

針對本文的研究對象單層輪輻式索網結構(圖3)，其內環索節點均連接兩根環索與一根徑向拉索，由“三索共面原理”可知，三根通過環索節點連接的索必定共面。例如，拉索A′B′、BB′、B′C′通過節點B′連接，當拉索BB′、A′B′、B′C′保持張力時，線段BB′、A′B′、B′C′必然在同一平面上，即點A、A′、B′、C′四點共面。

圖 3 輪輻式單層索網結構節點示意圖

根據“共點三索共平面”原理，在確定平面投影尺寸的情況下通過外圈壓環的Z坐標依次確定內圈環索節點的Z坐標，通過迭代循環的方式，最終確定索網的初始幾何位形。具體流程如下：

步驟1 確定初始己知量：

1)己知支座節點的X、Y、Z坐標，即XA、YA、ZA、XB、YB、ZB……其中支座A為最高點，支座F為最低點，指定ZF為最低點，指定ZF=0；

2)給定內圈環索節點的X、Y坐標，即XA′、YA′、XB′、YB′……

步驟2 第一次幾何位形計算:

1)假定第一次迭代調整因子α1確定ZA′的數值，從而確定ZB′。

假定第一次迭代調整因子α1，其取值范圍為(0,1],α1通常取1。定義ZA′=α1ZA，可通過ZA得到ZA′。由于節點B′和節點G關于X軸′對稱(圖4a)，且節點A、A′、B′及G′共面，從而可以確定節點B′和節點G′的初始Z坐標。

2)確定節點C′的初始Z坐標ZC′。

通過步驟2-1可知節點A′、節點B及B′的Z坐標(圖4b)，由于節點B、A′、B′及C′共面，從而可以確定節點C′的初始Z坐標ZC′。

圖 4 步驟示意圖

3)重復上述操作，確定節點D′、節點E′及F′的Z坐標，得到1/4結構的所有節點坐標。

4)驗算節點F坐標誤差

由于1/4結構的所有節點坐標均可通過“共點三索共平面”原理確定，節點A到節點E分別在平面B′A′G′,C′B′A′,D′C′B′,E′D′C′及F′E′D′內(圖4c)。在此條件下，需驗證3)中節點F′坐標誤差，以確定節點F′是否在平面E′F′M′內。因節點E′、M′關于Y軸對稱，可知兩點Z坐標相同，從而得到平面E′F′M′。

設L1為該次支座節點F至E′F′M′的距離，若點F位于平面E′F′M′上方，L取正值，進入步驟3；若點F位于平面E′F′M′下方，L取負值，增大1)中α1取值，重復1)，直至L為正。

步驟3 第二次幾何位形計算:

假定第二次迭代調整因子α2，其取值范圍為(0,1],α2通常取0.05。定義ZA′=α2ZA，其余運算步驟與步驟2中相同。

設L2為該次支座節點F至E′F′M′的距離，若點F位于平面E′F′M′上方，L2取正值，減小α2的取值，重復步驟3，直至L2為負；若點F位于平面E′F′M′下方，進入步驟4。

步驟4 迭代確定點A′的Z坐標:

定義第(i+2)次的調整因子為α3=(α1+α2)/2.其余運算步驟與步驟二中相同。設L3為該次支座節點F至E′F′M′的距離。

若L3小于誤差限制值[Um]，證明節點位于平面E′F′M′內，滿足“共點三索共平面”原理，終止運算；

若L3大于誤差限制值[Um]且L3大于零，則調整α1=α3，重復步驟4，直至L3小于限制值[Um]；

若L3大于誤差限制值[Um]且L3小于零，則調整α2=α3，重復步驟4，直至L3小于限制值[Um]；

步驟5 生成完整結構:

由上述操作可得1/4結構的所有節點坐標，根據邊界處的對稱條件生成完整的結構模型。

1.3 四支座簡化算例

本研究通過Grasshopper可視化編程實現迭代流程，針對簡化的四支座簡化算例進行迭代結果的實現。并與理論解析的四支座簡化算例的理論結果進行對比，證明該“單層輪輻式索網結構初始形態方法”的可行性。

本算例為四支座單層輪輻式索網結構，算例計算條件(圖5)。

圖 5 四支座簡化算例示意圖

1.3.1算例理論解析該算例結構關于XY軸對稱，可知ZA′=ZC′，ZB′=ZD′。

(4)

將節點A、A′坐標代入式(4)中得直線AA′表達方程：

(5)

因直線B′D′與AA′共面，且直線B′D′與Y軸平行，將節點B′坐標代入式(5)中，得B′點坐標表達式：

ZB′=2ZA′-2500

(6)

將節點B、B′坐標代入式(4)中得直線BB′表達方程：

(7)

因直線B′B′與A′C′共面，且直線A′C′與X軸平行，將節點B′坐標代入式(5)中，得A′點坐標表達式，同時聯立式(6)：

ZA′=1666.67

(8)

最終可得：

(9)

1.3.2初始態幾何確定方法實現算例本研究在grasshopper平臺中利用可視化編程的方式實現“單層輪輻式索網初始態幾何確定方法”對四支座算例進行找形，在本算例中，取第一次迭代調整因子α1=1，第二次迭代調整因子α2=0.05，誤差限制值[Um]=0.05,迭代程序如圖6所示。

圖 6 迭代程序示意圖

經過12次迭代，最終得到結果(圖7)：

圖 7 找形結果示意圖

(10)

“單層輪輻式索網初始態幾何確定方法”實現的四支座算例結果與理論解析計算結果可知，ZA′的誤差值為0.0079%，ZB′的誤差值為0.0045%，該誤差值結果證明“單層輪輻式索網初始態幾何確定方法”的可靠性，單層輪輻式索網結構初始態幾何可用該方法找形。

2 單層輪輻式索網結構零狀態形狀確定

單層輪輻式索網結構初始態幾何位形可由上節所述“單層輪輻式索網初始態幾何確定方法”進行確定，因此單層輪輻式索網結構零狀態形狀確定的問題屬于初始態幾何已知問題。針對該類問題目前較為適用的是逆迭代的方法。

2.1 逆迭代基本原理

逆迭代法最開始是用在張弦梁結構的幾何形狀確定的問題上[9]，然后經過發展推廣應用在了索網結構找形分析上。逆迭代是基于相似性原理的分析方法，其基本原理為：在給定預應力的條件下，在一次迭代后將所得的節點位移反向作用在初始位形上，更新節點坐標，進行下一次迭代。隨著迭代次數的增加，在預應力和自重的作用下結構變形后的位形，該迭代時的幾何位形，可被認定為零狀態幾何[10]。其迭代流程如下：

1)給定索結構的初始態幾何X,定義結構的零狀態幾何X0；

2)給定索的預張力P，初始態幾何X在索自重和預張力(通常不平衡)作用下結構產生初始位移d1，結構變形成為X1；

3)將位移d1反向作用于X得到初始迭代幾何XK=X-d1；

4)初始迭代幾何Xk在索自重和預張力作用下結構產生位移dk，結構變形成為Xk+1；

5)再次將變形dk反向作用于Xk得到迭代幾何Xk+2=Xk+1-dk；

6)判斷迭代幾何Xk+2初始幾何X的位移是否小于誤差極限值[Dm]，若小于誤差極限值[Dm]，迭代幾何Xk+2即為所求零狀態幾何X0；若大于誤差極限值[Dm]，則令k=k+2,重新進入步驟4)。

2.2 零狀態四支座簡化算例

本研究針對2.3節中簡化的四支座簡化算例(圖8)進行相應的零狀態找形的研究，通過grasshopper可視化編程實現2.1節所述迭代流程。該算例的彈性模量均為1.6×105N/mm2，拉索強度等級為1670 MPa，徑向索BB′設置主動索力F=300 kN。

圖 8 零狀態四支座簡化算例示意圖

2.2.1算例理論解析由“共節點三索共平面”原理可知，徑向索與兩根環索在相連節點處平衡，即：

(11)

由結構關于XY對稱可知，FA′B′=FA′D′=FB′C′=FC′D′,代入得：

(12)

由FBB′=300 kN,代入式(12)得：

(13)

2.2.2逆迭代法算例實現根據2.1節中所述逆迭代流程，基于grasshopper參數化設計平臺及基于該平臺開發的有限元分析插件karamba編制零狀態找形程序。因通過誤差極限值[Dm]判斷逆迭代找形是否成功，在已知預應力分布的條件下，應根據逆迭代求解零狀態幾何的預應力與已知的預應力進行對比，判斷逆迭代法確定零狀態是否可行。在該算例中設置最大迭代次數為20次，誤差極限值[Dm]=1.0 mm。

表1 索力對比表

該算例迭代20次后，迭代結束，此時迭代幾何X22與初始幾何X對比。迭代結果通過對比可知，該算例理論索力與逆迭代索力的索力誤差值最大為2.04%，誤差在可接受的范圍內。并且隨著誤差極限值[Dm]的減小和迭代次數的增加，計算結果將更為精確。

3 結束語

針對單層輪輻式索網結構初始狀態和零狀態找形方法進行了系統的研究，并通過參數化平臺RHINO和 Grasshopper結合簡化算例對找形方法進行驗證。研究得出以下結論：

1)針對單層輪輻式索網結構的初始狀態幾何應根據單層輪輻式索網結構的幾何特性進行迭代處理進行幾何位形確定；

2)逆迭代法可用于索桿體系的零狀態找形問題，同樣適用于單層輪輻式索網結構的零狀態找形問題；

3)參數化平臺RHINO和Grasshopper結合基于該平臺的各類插件可實現單層輪輻式索網結構的找形方法。