一道極坐標、參數(shù)方程視角下的橢圓高考題

李仕魁

(貴州省實驗中學 550003)

近年來，坐標系與參數(shù)方程是全國卷的熱門考點，一般都出現(xiàn)在選做題的位置，學生認為這是一個獨立的版塊，往往與其他部分的知識割離開來.實際上，我們不僅可以利用參數(shù)方程來表示曲線上的點的坐標，利用參數(shù)和極坐標的幾何意義，還可以解決很多解析幾何中與距離和角度有關的問題，為我們解決某些解析幾何問題提供新思路.

1 真題呈現(xiàn)

點評這道題難度不大，主要考查了橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)，很多常規(guī)解法都適用.但由于涉及橢圓上的點的坐標問題和兩點間的距離問題，也可以利用參數(shù)方程或極坐標進行求解.

2 解法探討

解析如圖1所示，因M為C上一點且在第一象限，且△MF1F2為等腰三角形，可得|F1M|=|F1F2|=8.

圖1

下面分別從參數(shù)方程和極坐標的角度分析.

思路1 利用橢圓的參數(shù)方程，通過設出點M的坐標求解.

則|F1M|=8.

整理，得(2cosθ+7)(2cosθ-1)=0.

思路2 利用直線F1M的參數(shù)方程，由|F1M|=8結合直線參數(shù)的幾何意義，設出點M的坐標求解.

因|F1M|=8，

可設M(-4+8cosα,8sinα),

則由點M在橢圓上，有

整理,得(8cosα+17)(8cosα-7)=0.

又因為0

思路3由|F1M|=8知點M在以F1為圓心，8為半徑的圓上，利用圓的參數(shù)方程設出點M的坐標求解.

解法3因為|F1M|=8 ，所以點M在以F1為圓心，8為半徑的圓上.可設M(-4+8cosα,8sinα)，下同解法2.

思路4 由于|F1M|=8與距離有關，可以與極坐標系中的ρ聯(lián)系起來.

圖2

設M(ρ,θ)，因為ρ=8，

即(8cosθ+17)(8cosθ-7)=0.

又因為0

點評與點的坐標有關的問題，可以利用參數(shù)方程設點；與距離或角度有關的問題，可以利用參數(shù)或極坐標的幾何意義分析.這在一定程度上，具有普遍意義.

3 實戰(zhàn)演練

利用這種思路，我們還可以解決一些類似的平面解析幾何的相關問題.

分析本題因為涉及距離問題，既可以利用直線的參數(shù)方程求解，也可以利用極坐標的幾何意義求解.

解析易見點F(2,0)，以點F為坐標原點建立平面直角坐標系如圖3所示，在新坐標系中拋物線C的方程為y2=8(x+2).現(xiàn)又以F為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，則拋物線C的極坐標方程為ρ2sin2θ=8(ρcosθ+2)，準線l的極坐標方程為ρcosθ=-4.

所以若設點Q(ρ,θ)，則P(4ρ,θ).

由點Q在拋物線上，點P在準線上，

解得ρ=3.

即|QF|=3.

圖3

分析直線l過定點且與距離有關，可以考慮利用直線的參數(shù)方程求解.

從而可設直線l的參數(shù)方程為

將直線l的參數(shù)方程代入已知圓中，

所以|AB|=|t1-t2|

圖4

充分發(fā)揮參數(shù)方程和極坐標的解題優(yōu)勢，利用它們的幾何意義解題，可以使某些解析幾何問題獲得新的解法，同時也可以加深大家對于參數(shù)方程和極坐標的理解.希望大家在遇到一些解析幾何問題的時候，慢慢學會從參數(shù)方程或極坐標的角度去審視問題，不斷增強我們思維的綜合性和靈活性.