一個問題 多個角度
—— 探究一道恒成立問題的多種解法

管良梁

(安徽省合肥市第四中學 233000)

題目已知函數(shù)f(x)=x2-mx-2m2,若對任意x∈[1,+∞)，恒有f(x)>0，求實數(shù)m的取值范圍．

解法1(利用動軸定區(qū)間)由題意，得

則f(x)min=f(1)>0，

即1-m-2m2>0,

點評本解法利用動軸定區(qū)間的思想.討論對稱軸的位置，根據(jù)對稱軸的位置確定定區(qū)間里的最小值f(x)min，由f(x)min>0確定m的取值范圍.

解法2(利用判別式)因為

Δ=(-m)2-4×(-2m2)=9m2≥0,

解法3(利用根的位置)令f(x)=0,

則x2-mx-2m2=0.

所以(x-2m)(x+m)=0.

即x=2m或x=-m.

(1)當m>0時，則2m>0>-m.

(2)當m=0時，2m=-m=0，顯然成立.

(3)當m<0時，2m<0<-m,

所以-m<1，

即m>-1，

所以-1

點評本解法利用參數(shù)m將方程f(x)=0的根表示出來，再對參數(shù)進行討論,確定根的位置進行求解.

解法4 (利用改變變量)因為f(x)>0，

所以x2-mx-2m2>0.

所以2m2+mx-x2<0.

即(2m-x)(m+x)<0.

因為x∈[1,+∞)，

解法5 (利用導數(shù))

因為f(x)=x2-mx-2m2，

所以f′(x)=2x-m.

函數(shù)y=f(x)在[1,+∞]上單調遞增，

所以f(x)min=f(1).

所以f(1)>0即可.

即1-m-2m2>0，

點評本解法利用導數(shù)判斷函數(shù)y=f(x)的單調性，對參數(shù)m進行討論，確定最小值，由f(x)min>0求出實數(shù)m的取值范圍.

通過以上五種解法的探究，提高學生綜合運用的能力，同時也避免了“題海戰(zhàn)術”.在平時的解題過程中要多思考、多總結，從多渠道、多途徑對問題進行解答，這樣既鞏固了基礎知識，也提高了解題能力，促進學生全面發(fā)展.