一個填空題的解決與拓展探究

許銀伙

(福建省泉州外國語中學 362000)

(1)點M的軌跡方程為____；

(2)若直線l:x-y-2=0上有兩個距離恒為2的動點P,Q，對于AB在圓C上的運動，能保持∠PMQ恒為銳角，則線段PQ中點G的橫坐標取值范圍為____.

解析(1)點M的軌跡方程為x2+(y-1)2=4.

設線段PQ中點為G(x0,y0)，由∠PMQ恒為銳角，得點M恒在以PQ為直徑的圓外，

因為|MG|min=|C1G|-r，

所以|C1G|>3.

結合x0-y0-2=0解得x0<0或x0>3.

所以點G的橫坐標取值范圍為(-∞,0)∪(3,+∞).

評注解析幾何問題首先是幾何問題，運用幾何性質解題，是快速解題和減少運算量的訣竅，也是高考的素養要求.本題由幾何特性得∠PMQ恒為銳角等價于點M恒在以PQ為直徑的圓外，是整個問題(2)解答的關鍵.

思考1 如果題中條件不變，把“∠PMQ恒為銳角”改成“∠PMQ恒小于60°”呢？

解析作如圖1，設點G(x0,y0)，過點G(x0,y0)作直線l的垂線l′:y-y0=x0-x，在l′上與圓同C1側取點T(x1,y1)，使得∠GTQ=60°.

由題意得：以T(x1,y1)為圓心，|TQ|為半徑的圓與圓C1相離.

由x0-y0-2=0，y1-y0=x0-x1，y1>x1-2,

得x0>x1.

在Rt△GTQ中，

評注條件不變，僅把所求問題改變，解決的難度陡然提升.仍然利用幾何性質解決，利用過點P,Q且PQ所對圓心角為120°的圓與圓C1相離.

思考2 如果題中條件不變，求∠PMQ的最大值呢？

解析在△PMQ中，

由基本不等式，得

2|MP|·|MQ|≤|MP|2+|MQ|2(當且僅當|MP|=|MQ|時取等號).

因為G為線段PQ中點，

又因為

2(|MP|2+|MQ|2)=|PQ|2+(2|MG|)2，

此時|MP|=|MQ|成立，

所以cos∠PMQ最小值為

評注運用余弦定理求三角形內角的最大值，是通常的方法，因為余弦值在三角形的內角范圍內單調遞減.運用基本不等式求最值，一定要關注能夠取等號.本題中|MG|取最小值與前面基本不等式恰好同時成立，保證所得結果正確.

思考3如果題中條件不變，求∠PMQ的最小值呢？

解析連接GC1并延長交圓C1于點M，故有∠PC1Q>∠PMQ.

在△PC1Q中，

cos∠PC1Q→1，∠PC1Q→0°，

所以∠PMQ→0°，∠PMQ的最小值不存在.

評注思考2與3通過作圖都是容易直觀得到的.

思考4 如果題中條件不變，只是把直線l改成線段l:x-y-2=0(a≤x≤b)，求∠PMQ的最小值呢？

解析設點G(x0,y0)，過點G(x0,y0)作直線l的垂線l′:y-y0=x0-x，在l′上與圓C1同側取點T(x1,y1)，以T為圓心，|TQ|為半徑的圓與圓C1相交于點M.

由x0-y0-2=0，y1-y0=x0-x1，y1>x1-2,

得x0>x1.

記|TQ|=r，則

評注通過以上解析，不容易看出∠PMQ的最小值是否與線段的端點有關.補充剖析如下：

即(r-4m)2=9(2m2-1).

評注利用圖形特征：圓與橢圓總在它們切線的同一側，力圖利用兩曲線在交點處的公切線解決問題.思路正確，最后也可以化成關于cosθ,sinθ的兩個獨立方程，但方程過于復雜，無法解出.