2021年全國新高考Ⅰ卷第22題導數的兩種妙解

彭耿鈴

(1.福建省泉州市第七中學 362000;2.福建教育學院數學教育研究所 362000)

2021年全國新高考數學第22題導數題，考查極值點偏移問題，解法豐富，區分度較高.試題以常規的知識和方法為載體，挖掘了數學的學科本質，較好地考查了考生的綜合能力和學科素養，有利于科學選拔創新人才.本文旨在探究此題型規律，提供兩種解題妙法，揭示其解題方法，希望讀者能決勝于2022年高考！

1 題目呈現

題目(2021年全國新高考Ⅰ卷第22題) 已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

2 題目解析

2.1 第(1)問解析

解析因為f′(x)=-lnx，所以

當00，則f(x)在(0,1)上單調遞增；

當x>1時，f′(x)<0，則f(x)在(1,+∞)上單調遞減.

2.2 第(2)問解析

解析因為a，b為兩個不相等的正數，且

blna-alnb=a-b，

則由(1)可知f(x1)=f(x2)，

且0

因此(2)等價證明2

下面先證明：x1+x2>2.

令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1)，

則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)

=-lnx(2-x)>0.

所以g(x)在(0,1)上單調遞增.

所以g(x1)=f(x1)-f(2-x1)

即f(x2)=f(x1)

又由(1)可知：f(x)在(1,+∞)上單調遞減，

所以2-x12.

接下去證明x1+x2

方法1(利用切線不等式)

f(x)在點(e,0)處的切線方程為

h(x)=e-x.

令φ(x)=f(x)-h(x)=2x-xlnx-e，x∈(0,e)，

則φ′(x)=1-lnx>0.

所以φ(x)在(0,e)上單調遞增.

所以φ(x)<φ(e)=0.

所以x∈(0,e)時，f(x)

不妨設f(x1)=f(x2)=t，

則t=f(x2)

所以t+x2

又t=f(x1)=x1(1-lnx1)，x1∈(0,1)，

所以t=x1(1-lnx1)>x1.

即x1+x2

方法2 (構造函數)

由(1)可知：0

所以lnx1<0.

因為f(x1)=f(x2)，

所以x1

所以x1+x2

令h(x)=x(1-lnx)+x，x∈(1,e)，

則h′(x)=1-lnx>0.

所以h(x)在(1,e)上單調遞增.

所以h(x2)

以上的兩種證明方法，解題思維更加合理流暢，學生更容易接受.因此我們教師在日常教學中，應引導學生多視角思考，用不同方法解決數學問題，認真提煉和總結解題方法，才能有利于學生開拓數學視野，才能不斷提高學生的邏輯推理能力、分析綜合能力，為學生的多元發展、持續發展、終生發展奠定良好的基礎.