2009年新課標高考理數第20題解析幾何的探究

楊雪蘋

(廣東省廣州大學附屬中學南沙實驗學校 511458)

圓錐曲線是高考的重要考點，在解題中涉及到函數與方程、不等式、三角和直線等內容，體現各種能力的綜合要求，要求學生有較高的計算水平、較強的計算能力.求曲線軌跡方程常用方法有：直接法、定義法、代入法、參數法.求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.

1 試題呈現

題目(2009年新課標20)已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.

(1)求橢圓C的方程；

2 試題解析

2.1 題型分析

求圓錐曲線的標準方程是作為高考解答題中的第(1)問，最常見的方法是定義法與待定系數法.本題中第(1)問考查待定系數法求圓錐曲線的標準方程.

離心率是高考對圓錐曲線考查的重點，涉及a,b,c三者之間關系.本題的第(2)小題是考查圓錐曲線垂直相關點的軌跡問題，是比值為離心率e時的一般化變式：

2.2 解法探究

由橢圓定義知：到兩個焦點的距離分別是7和1的頂點一定是長軸兩端點中一個.

解得a=4,c=3.

所以b2=a2-c2=16-9=7.

(2)設M(x,y)，其中x∈[-4,4].

整理,得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4,4].

化簡,得9y2=112.

小結本題第 (1)小題主要考查橢圓的基本性質；在第(2)小題中， 點M的軌跡方程通過直接將相關點的坐標代入等量關系，考查形如(λ-a)x2+bλy2=c(其中a,b,c為定值)的動點的軌跡，滲透著分類討論思想.若把載體變為雙曲線，問題該如何解答呢？

3 試題變式

解析設M(x,y)，其中x≥4或x≤-4.

由于點P在雙曲線上，可得

即(23-16λ2)x2-16λ2y2=112，其中x≥4或x≤-4.

因為(23-16λ2)x2=16λ2y2+112>0,

即23-16λ2≥7，即0<λ≤1時，

點M的軌跡為中心在原點、實軸在x軸上的雙曲線滿足x≥4或x≤-4的部分；

4 結論的一般化及推廣

4.1 結論的一般化

當0<λ

當λ=e時，點M的軌跡是兩條平行于x軸的線段；

當e<λ<1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-a≤x≤a的部分；

當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓.

4.2 結論的推廣

當0<λ≤1時，點M的軌跡是中心在原點、實軸在x軸上的雙曲線滿足x≥a或x≤-a的部分；

當1<λ

當λ≥e時，點M的軌跡不存在.