利用導數突破高考圓錐曲線壓軸題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

1 題目呈現

題目(2021年普通高等學校招生全國統一考試全國乙卷理科 第21題) 已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求p的值；

(2)若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求ΔPAB面積的最大值.

2 總體分析

本題是全國乙卷理科解答題的第21題，屬于壓軸題，以面積最值為命題點，綜合考查圓錐曲線和導數.圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：第一種是幾何法，特別是利用圓錐曲線的定義和平面解析幾何的有關結論來求最值；第二種是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等來求解最值.另外，導數的幾何意義的引入也大大豐富了高中數學的知識體系，給我們用常規方法無法解決的問題提供了新的視角，同時也拓寬了解決圓錐曲線問題的思路.下面從不同的視角來探討這個高考壓軸題，并進行追根溯源，深刻理解此問題的本質，期望弄通悟透.

3 試題解答

以下重點探討第(2)問.

視角1借助導數的幾何意義，同一法求直線方程，進而求面積的最值

①

②

化簡整理，得x2-2x0x+4y0=0，

由韋達定理有x1+x2=2x0，x1x2=4y0，

由條件易知y0∈[-5,-3].

視角2借助導數的幾何意義，斜截式求直線方程，進而求面積的最值.

③

在進行道床建設時，要保證材料符合相關的標準要求，加強道床施工的質量控制，保證其具有較高標準的承載力，可以在較長時間承載地鐵的運行，有以下技術要點：①在道床施工中，要將預留縫隙與隧道結構縫控制在統一平面上；②在搭設與拆除腳手架時要與鋼軌置離；③進行混凝土澆筑時要適當的分層，采用特殊的方法分臺階澆筑，保證其具有充足的承載力。

評注此解法同解法1，先得出切線PA,PB的方程，聯立兩直線方程得出交點P的坐標(用點A,B的橫坐標表示)；再設直線AB的斜截式方程，與拋物線方程聯立，借助韋達定理得出兩根之和與兩根之積.接下來進行對照，將點P的坐標用直線AB方程斜截式中的k和b來表示，最后利用面積公式并結合解法1可得解.

視角3借助導數的幾何意義及數形結合思想，求出面積表達式，進而求面積的最值.

解法3 設A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，由解法2可得

設AB中點為Q，則由中點坐標公式可得點

所以|PQ|=|yQ-yP|.

評注此解法關注到點P的橫坐標與弦AB中點Q的橫坐標相同，因此PQ⊥x軸，從而簡化了面積的轉化與求解，這也體現了數形結合思想的重要性.由此解法我們得到的啟示是：在做直線與圓錐曲線的綜合題時，先做草圖，數形結合，也許可以找到解題的突破口.

4 追根溯源

(1)求p的值；

(2)當M在C2上運動時，求線段AB的中點N的軌跡方程.

評注此題也有多種解法，可以直接設切點的坐標，利用導數的幾何意義得出切線方程，再利用求軌跡的方法求解.此法的關鍵點是設而不求，思路直接，難點是參數多，需要注意消參的技巧；也可以借助拋物線的參數式，利用導數求出切線的方程，進而求出兩切線的方程，轉化為以t1,t2為兩根的方程，最后利用韋達定理求解，關鍵點是方程的轉化和消元的技巧.此題解法從略，有興趣的讀者可以自己嘗試.

從近幾年全國各地的高考圓錐曲線的壓軸題來看，圓錐曲線的定義、幾何性質及直線與圓錐位置關系仍是高考的熱點和難點.文中兩題以圓錐曲線中的拋物線為背景，過曲線外一點引曲線兩條切線問題為載體展開.一道題是利用導數求切線斜率，并求所得到的三角形面積的最大值；另一道是利用導數求切線斜率，尋求動點軌跡方程.兩題均考查了圓錐曲線的一些基本知識及消參等基本運算；從思想方法上來看，考查了數形結合思想、函數與方程思想等.

要學好高中數學，就應該對所學知識有整體的認識和把握，即理解這些知識在解決數學問題乃至實際問題中所起的作用.我們也要明確，數學是思維的科學，邏輯思維、數形結合、概括與綜合等都是數學的重要思想方法.