高考中常見比較大小問題的分類例析

范習昱

(江蘇省鎮江市丹徒高級中學 212143)

比較數或式的大小是高考選擇題的?？停瑥拿}角度來看，雖然起點低，學生上手快，但有的題并不簡單；從內容上看，這類題主要考查指數和對數的運算、基本初等函數(冪指對函數)的單調性、導數的運用等；從解題策略上看，具有豐富靈活的特點，主要利用指數函數或對數函數的單調性、構造特征函數利用單調性、作差法和作商法、以及不等式的性質和基本不等式原理求解.

1 指數式或對數式背景下的大小比較

例1 (2013年全國文科新課標Ⅱ卷)設a=log32，b=log52，c=log23，則( ).

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

解析由題意可知：

a=log32∈(0,1)，

b=log52∈(0,1)，

c=log23∈(1,+∞)，

即c>a>b.

故選D.

反思比較指數式的大小常常根據指數的結構來判斷，如果兩個數指數相同，底數不同，則考慮冪函數的單調性；如果指數不同，底數相同，則考慮指數函數的單調性；如果兩個數指數和底數都不同，有時需要借助中間數(比如1)來傳遞判斷.涉及到對數比較大小時，如果底數相同，可以利用對數的單調性來解決；如果底數不相同，可以用換底公式、基本不等式以及不等式的性質綜合加以判斷.如果涉及指數式和對數式的綜合比較大小時，也要借助中間數(比如1或0)來傳遞加以判斷.

2 等式條件下的大小比較

例2 (2017年全國理科新課標Ⅰ卷)設x，y，z為正數，且2x=3y=5z，則( ).

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

解析令2x=3y=5z=k(k>1)，則

x=log2k，y=log3k，z=log5k.

則2x>3y.

則2x<5z.

故選D.

反思在等式條件下進行大小比較，需要考查等式的結構特點，方法并不單一，非常靈活.可考慮利用待定系數的方法，先解出未知數，作商比較，也可以采用賦值特殊法比較.

3 不等條件下的大小比較

例3 (2016年全國理科新課標Ⅰ卷)若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

解析因為a>b>1，0bc，故A錯；

因為函數f(x)=xc-1在(0,+∞)上單調遞減，故ac-1bac，故B錯；

因為0<-logac<-logbc，故-blogac<-alogbc，

即blogac>alogbc，即alogbc

故C正確.

例4 (2020年全國文科新課標Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解析由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y.令f(t)=2t-3-t，因為y=2x為R上的增函數，所以y=3-x為R上的減函數，所以f(t)為R上的增函數.所以x1.所以ln(y-x+1)>0.則A正確，B錯誤.因為|x-y|與1的大小不確定，故C，D無法確定.

反思在不等條件下比較大小，也要關注不等條件的結構特點，而采用不同的方法.最常見的是利用函數的單調性或者特殊值法求解，也可以利用不等式的性質求解，可根據不等式的特征構造函數，再利用函數單調性加以判斷求解.當然，更多情況是綜合運用這些方法，這也是高考命題關注學生知識系統性、交匯性的體現.

4 與函數交匯下的大小比較

例5 (2017年天津)已知奇函數f(x)在R上是增函數，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，則a，b，c的大小( ).

A.a

C.b

解析由題意g(x)為偶函數，且在(0,+∞)上單調遞增，所以a=g(-log25.1)=g(log25.1).又2=log24

故選C.

反思與函數交匯下的大小比較，其根本求解策略是利用函數的單調性，先比較自變量取值的大小，再比較函數值的大小.

5 基本不等式背景下的大小比較

例6 (2020年上海單選13)下列不等式恒成立的是( ).

A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2ab

解析由基本不等式可知a2+b2≥2ab，故A不正確；

a2+b2≥-2ab，即a2+b2+2ab≥0，即(a+b)2≥0恒成立，故B正確；

當a=-1,b=-1時，不等式不成立，故C不正確；

當a=0,b=-1時，不等式不成立，故D不正確.

故選B.

例7 (2020年山東多選11)已知a>0，b>0，且a+b=1，則( ).

對于B，a-b=2a-1>-1，

對于D，因為

故選ABD.

反思在基本不等式背景下比較大小，應該說更多的是在考查基本不等式的運用，這里單獨作為一類分析，一是考慮行文的整體性，二是考慮高考命題的綜合性.求解比較大小的問題，以上策略往往需要綜合考量.

6 數列背景下大小比較

例8 (2015年浙江)已知{an}是等差數列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3,a4,a8成等比數列，則( ).

A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

解析由a3,a4,a8成等比數列可得：

(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d).

即3a1+5d=0.

所以a1d<0.

=2d(2a1+3d)

故選B.

反思在數列背景下進行大小比較自然首要關注的是數列本身知識的運用，這里要回歸大小比較的本源，就是作差法和作商法的運用.考慮到行文的整體性，我們把這一類也整理出來.

以上六類幾乎囊括了高考中比較兩數或兩式大小的全部類型，這類題難度一般不大，但內涵豐富、外延廣泛，綜合性強，解題策略靈活多變，對考生數學核心素養要求很高，高三師生要引起高度重視.