張角公式與線段倒數和差關系的證明

于志洪

(江蘇省泰州市海陵區森南新村15棟103室 225300)

1 引例

證明因為S△PAB=S△PAC+S△PCB，

圖1

例1 如圖2，已知圓心O在Rt△ABC的斜邊BC上，且與AB，AC相切，設圓的半徑為r.

圖2

圖3

證明過點P作PD⊥直線AB于點D，作PE⊥直線BC于點E，作PF⊥直線CA于點F.

知P,E,B,D及P,D,F,A分別四點共圓及PD=d1,PE=d2,PF=d3.

則∠DPE=∠ABC=60°,∠DPF=∠CAB=60°.

由西姆松定理，知D,E,F三點共線.

從而以P為視點，對△PEF應用張角公式，有

圖4

證明作兩圓的直徑AO1D和BO2E，連接PA，PB，PD，PE.容易證明A，P，E和B，P，D分別共線.設∠APC=∠E=α，∠BPC=∠D=β，在Rt△APD和Rt△BPE中，分別得

PA=2Rsinβ,PB=2rsinα.

①

②

例4 如圖5，在凸四邊形ABCD中，對角線AC與BD互相垂直，過AC，BD的交點O任作兩直線分別交AC，BC，AB，CD于點E，F，G，H.又GF,EH分別交BD于點I，J.

圖5

證明設∠GOI=∠JOH=α，∠FOI=∠EOJ=β，由題設易知∠AOG=∠COH=90°-α，∠COF=∠AOE=90°-β.

所以以O為視點，對A，G，B用張角公式，得

③

同理以O為視點，對B，F，C用張角公式，得

④

又以O為視點，對G，I，F用張角公式，得

⑤

將③和④同時代入⑤中，得

⑥

同理可得

⑦

所以⑥-⑦，得

例5 如圖6，在直線l的同側有相鄰的三個等角∠BAD,∠DAN和∠NAG，且G，A，B都在l上，連接GD,BN分別交于AN,AD于N,L.

圖6

證明以A視點，分別對B，L，N及G，N，D用張角公式，得

⑧

⑨

又sin60°=sin120°,

例6凸四邊形ABCD的一組對邊BA與CD的延長線交于點M，且AD∥BC，過點M作截線交另一組對邊所在直線于H，L，交對角線所在直線于H′，L′.

圖7

證明如圖7所示，設∠BML=γ,∠CML=β，應用張角公式得

⑩