任意存在性問題的轉(zhuǎn)化策略

廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

任意存在性問題常見的題型有：含單量詞的方程問題；含單量詞的不等式問題；含雙量詞的方程問題和含雙量詞的不等式問題等.找準(zhǔn)切入點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象或性質(zhì)問題是解題的關(guān)鍵.

1 含單量詞的方程問題

1.1 轉(zhuǎn)化策略

(1)?x∈D,等式f(x)=g(x)成立?函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象有交點(diǎn).

1.2 典型例題

A．[-1，0) B．[0，+∞)

C．[-1，+∞) D．[1，+∞)

圖1

分析根據(jù)策略(1)，g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)和y=-x-a的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合這兩個(gè)函數(shù)的圖象確定a的取值范圍.

解析由g(x)=0得f(x)=-x-a.在同一坐標(biāo)系中畫出f(x)和y=-x-a的圖象如圖1所示.

若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則f(x)與y=-x-a的圖象有2個(gè)交點(diǎn).

平移直線y=-x-a可知：

當(dāng)直線y=-x-a與y=-x+1重合，

即a=-1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)直線y=-x-a在y=-x+1上方，

即a<-1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)直線y=-x-a在y=-x+1下方，

即a>-1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意.

綜上，a的取值范圍為[-1,+∞).

點(diǎn)評(píng)本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果.

2 含單量詞的不等式問題

2.1 轉(zhuǎn)化策略

(2)?x∈D,不等式f(x)>m成立?f(x)min>m；

(3)?x∈D,不等式f(x)

(4)?x∈D,不等式f(x)>m成立?f(x)max>m；

(5)?x∈D,不等式f(x)

2.2 典型例題

圖2

解析因?yàn)閒(x+1)=2f(x)，

所以f(x)=2f(x-1).

即f(x)的圖象每向右平移1個(gè)單位，圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)就伸長(zhǎng)為原來的2倍.

當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，

f(x)=x(x-1)，畫出f(x)的圖象如圖2所示.

當(dāng)2

f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3).

整理，得9x2-45x+56=0.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查函數(shù)的圖象變換和恒成立問題，考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是利用已知條件作出函數(shù)的圖象.

若對(duì)任意x∈[-3,+∞)，f(x)≤|x|恒成立，則a的取值范圍是____.

分析根據(jù)分段函數(shù)分兩種情況討論，再利用分離參數(shù)法把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解.

解析當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)≤|x|，得

-x2+2x-2a≤x.

當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，由f(x)≤|x|，

得x2+2x+a-2≤-x.

整理，得a≤-x2-3x+2.

根據(jù)策略(2)，a≤(-x2-3x+2)min.

而(-x2-3x+2)min=2，所以a≤2.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查分段函數(shù)和不等式恒成立問題，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

因?yàn)?t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1，

依題意，存在t∈R，使得上式成立.

根據(jù)策略(4)和(5)可得

點(diǎn)評(píng)本題主要考查絕對(duì)值不等式能成立的問題，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).根據(jù)策略(4)和(5)，把存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解題的關(guān)鍵.

3 含雙量詞的方程問題

3.1 轉(zhuǎn)化策略

設(shè)A={f(x)|x∈D1}，B={g(x)|x∈D2}，

(6)?x1∈D1，?x2∈D2，等式f(x1)=g(x2)成立?A?B；

(7)?x1∈D1，?x2∈D2，等式f(x1)=g(x2)成立?A∩B≠φ；

(8)?x1∈D1，?x2∈D2，等式f(x1)≠g(x2)成立?A∩B=φ.

3.2 典型例題

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若對(duì)于任意的x1∈(2,+∞)，都存在x2∈(1,+∞)，使得f(x1)·f(x2)=1，求a的取值范圍.

顯然0?B.下面分三種情況討論：

所以A?(-∞,0).

又由f(1)≥0知，f(x)在(1,+∞)上的取值范圍包含(-∞,0)，故A?B；

點(diǎn)評(píng)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查任意存在性問題和分類討論思想.解題關(guān)鍵在于把任意存在性問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合的關(guān)系問題.

4 含雙量詞的不等式問題

4.1 轉(zhuǎn)化策略

(9)?x1∈D1，?x2∈D2，不等式f(x1)>g(x2)成立?f(x)min>g(x)max；

(10)?x1∈D1，?x2∈D2，不等式f(x1)>g(x2)成立?f(x)min>g(x)min；

(11)?x1∈D1，?x2∈D2，不等式f(x1)>g(x2)成立?f(x)max>g(x)max；

(12)?x1∈D1，?x2∈D2，不等式f(x1)>g(x2)成立?f(x)max>g(x)min.

4.2 典型例題

例6 (2015年全國(guó)Ⅱ卷理21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

(1)證明：f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)若對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

分析(1)先求f′(x)，再根據(jù)m的取值范圍分別討論f′(x)的符號(hào)，從而得證；

(2)根據(jù)策略(9)，對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1?f(x)max-f(x)min≤e-1，結(jié)合(1)的結(jié)論可求m的取值范圍.

解析(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增.

故f(x)在x=0處取得最小值．

設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1，則g′(t)=et-1．

當(dāng)t<0時(shí)，g′(t)<0；當(dāng)t>0時(shí)，g′(t)>0．

故g(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增．

又g(1)=0，g(-1)=e-1+2-e<0，

故當(dāng)t∈[-1,1]時(shí)，g(t)≤0．

當(dāng)m∈[-1,1]時(shí)，g(m)≤0，g(-m)≤0，即(*)式成立．

當(dāng)m>1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)>0，即em-m>e-1；

當(dāng)m<-1時(shí)，g(-m)>0，即e-m+m>e-1．

綜上，m的取值范圍是[-1,1]．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查恒成立問題的解法.解題關(guān)鍵在于把任意存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題.

總之，只要準(zhǔn)確理解任意和存在的含義，熟練掌握上述轉(zhuǎn)化策略，就不難破解方程和不等式中的任意存在性問題，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).