利用單位圓玩轉三角函數性質

王定暢

(浙江省寧波科學中學 315336)

1 周期性的探究

周期性是三角函數不同于指對冪函數的特有性質，利用單位圓更能使學生得到三角函數的周期性.在此過程中，教師可通過誘導學生通過圖形(單位圓)形成直觀感受，再用代數的方法給出數學證明，讓學生體會到數形結合的思想.

例1 證明f(α)=sinα的最小正周期為2π.

總結對于一個問題如果從正面難以突破時，我們就要學會從其反面思考，敢于突破思維限制.本題如從定義入手進行證明會略顯困難，而采用反證法則簡練易懂.

2 奇偶性的探究

研究函數的奇偶性，有代數和幾何兩個角度，在不知正弦函數圖象的情況下，只能通過奇偶函數的代數定義來探究.將研究sinα和sin(-α)的關系轉化為研究α和-α的終邊關系，其本質仍是在利用三角函數的定義.

因為正弦函數的定義域為R，因此我們自然會思考正弦函數是否具有奇偶性.研究正弦函數的奇偶性，本質上研究的是對于任意的α，sinα和sin(-α)的關系.通過研究α和-α這兩個角終邊的關系，可以發現，α和-α的終邊關于x軸對稱，因此它們的終邊和單位圓交點的縱坐標互為相反數，即-sinα=sin(-α)，因此正弦函數是奇函數.

結合周期性，可以得到對于f(α)=sinα，f(α+2π)=f(α)以及-f(α)=f(-α)都是恒成立的，因此有f(α+2π)+f(-α)=0也恒成立，可以得到正弦函數關于(π,0)中心對稱.

根據通信電子電路三年翻轉課堂的教改情況來看，通信電子電路課程開展翻轉課堂的教學方式是可行的，能解決課程在傳統課堂授課中多年存在的問題，但同時也面臨著很大的挑戰，主要體現在以下幾個方面：

3 正弦函數單調性的探究

從單位圓中能根據角的終邊的旋轉方向直觀體現角的變化規律，同時也可直觀體現角終邊的交點的縱坐標的變化規律.對于周期函數，我們往往只需要研究其一個周期內的性質即可，這種思想適用于研究所有的周期函數.通過單位圓研究三角函數在一個周期的單調性，得到三角函數在定義域內的單調性是十分直觀的！

例2 選定一個周期來研究f(α)=sinα的單調性.

例3 利用正弦函數的周期性給出f(α)=sinα在R上的單調性.

4 最值的探究

例4 在單位圓中思考：f(α)=sinα何時取到最大值1，何時取到最小值-1.

通過對單位圓這一數學工具的利用，探究了正弦函數的周期性、奇偶性、單調性和最值，同樣的方法也可以應用到余弦函數的探究上，具體方法如下.

5 掌握單位圓的基本要求

5.1 理清三角函數模型

如果要精確定義三角函數，則通常選擇一個特定的單位圓點并將其視為必要的定義坐標.通過使用上述定義方法，可以突出三角函數的一般特性，并在此前提下緊密聯系余弦和正弦函數.同時，在三角函數和單位圓相互結合的狀態下，學生可以快速識別出縱坐標和橫坐標之間的特定聯系，從而反映出最基本的函數特性.

5.2 簡化問題解決流程

如果三角函數線和單位圓實現相交關系，將有助于簡化相應的問題解決過程.具體而言，三角函數涉及域和周期特征，如果給出了單位圓對應著的某點坐標，那么將會由此而得出重復性的圓周長度.具體來說，每當角α旋轉一定范圍時，就會出現一個可重復的圓，直到它回到原來的角度位置為止.

5.3 理解數形結合思想

為了節省學生解決數學問題的時間，如果能引入單位圓作為解題的輔助，就能突顯數形結合的價值所在，對于整個解題流程也增強了直觀性.由上述研究實例可見三角函數和單位圓的靈活組合有助于突出直觀性和生動性，借助圖形可以快速實現特定的數學原理推導過程.同時，單位圓本身也具有對稱性，實現了導出公式的有序推導，構成了一個有機的整體.

通過三角函數定義的引入，讓學生先嘗試利用定義來探究三角函數的性質，激發學生的探索欲望，其次通過實例讓學生體驗通過自身努力去發現新事物的樂趣，同時在探究過程中從形與數兩個角度對發現的性質加以研究和證明，加深了學生對三角函數的理解并體會數學探索過程中的嚴謹性.最后，在已有的研究基礎上，引導學生通過類比的方法來研究出余弦函數的性質，并且通過比較正余弦函數的聯系，引導學生利用平移由正弦函數的性質得到余弦函數的性質，同時也開拓了學生的視野.雖然這節課從借助單位圓來探究正余弦函數的性質總體上是比較方便的，但是也有一些點對于學生有一定難度，例如在探究正弦函數單調性時區間的選擇，此外，如何利用單位圓去發現正余弦函數的其他性質也是值得思考的一個地方.

通過以上分析，我們可以看到三角函數和單位圓之間存在固有的聯系.當面對特定的數學問題時，如果高中生可以引入單位圓作為輔助來解決問題，他們可以突出數與形組合的價值，并增強整個問題解決過程的直觀性.因此，在解決數學問題的實踐中，學生仍然需要不斷積累解決問題的經驗.必須為不同類型的三角函數選擇靈活的解決方案，以簡化解決問題的過程.