巧用構造法 解答數學題

陳賢兵

(福建省南平市光澤縣第一中學 354100)

運用構造法解題是建立在對問題本質深入理解，準確把握的基礎之上，對學生的能力要求較高.授課中應做好相關理論的系統講解，并做好構造法在解題中的應用示范，使學生掌握運用構造法解題的題型以及相關的應用技巧，提高其解題水平以及解題自信.

1 巧用構造函數，解答數學題

構造函數是解答數學習題的重要構造方法之一.根據題干創設的情境可靈活構造二次函數、三角函數以及一些特殊函數.其中構造函數后還應注重聯系所學的函數性質進行解題，針對一些特殊函數還應運用導數知識研究函數的性質，把握函數的增減規律，以達到順利破題的目的.

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值，又有極小值

D.無極大值，也無極小值

分析習題僅給出關于函數f(x)的兩個等式關系，并不知道函數的具體表達式，難度較大.解題應從給出的兩個等式關系入手，聯系導數知識，構造相關函數.在把握函數性質的基礎上判斷函數f(x)是否有極值.

構造函數F(x)=e2xf(x)，

所以f′(x)≤0，函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減，即當x>0時，其既無極大值也無極小值，故選D.

2 巧用構造數列，解答數學題

高中數學學習的數列類型有等差數列、等比數列，因此，構造數列時應注重對給出的已知條件進行整理、變形，轉化成等差或等比數列的形式，然后結合數列的性質、數列前n項和Sn與an之間的關系求出數列的通項公式.結合具體問題靈活運用錯位相減法、裂項相消法等技巧進行解題.

分析因為bn和數列的通項公式an相關，因此，需要先根據已知條件通過構造數列求解出an，而后再代入證明即可.

解析因為an+2Sn-1·Sn=0(n≥2)，

an=Sn-Sn-1(n≥2)，

代入整理，得

所以

b2b3+b3b4+b4b5+…+bn+1bn+2

3 巧用構造方程，解答數學題

解答高中數學部分習題可對已知條件進行轉化，通過構造方程的方式解決.構造方程時應注意充分利用已知條件進行轉化，減少參數個數，更好地揭示相關參數之間的內在聯系，必要情況下運用函數與方程思想化抽象為直觀，借助函數圖象理清參數之間的關系，達到順利解題的目標.

例3 已知實數a，b，c滿足a+b+c=2，a2+b2+c2=4，且a>b>c，則a的取值范圍為____.

分析習題給出兩個等式，看似無從下手，事實上，解題時注重通過等價代換構造相關方程，借助方程知識便可順利地解答.

解析因為a+b+c=2，所以b+c=2-a.

又因為a>b，a>c，所以2a>b+c.

因為b2+c2=(b+c)2-2bc=4-a2，

所以(2-a)2-2bc=4-a2.

整理，得bc=a2-2a，

所以bc是方程x2-(2-a)x+a2-2a=0的兩根.

當x=a時，對應函數的值大于零，

即a2-(2-a)a+a2-2a>0.

4 巧用構造圖形，解答數學題

解答數學習題時構造圖形可很好地提高解題效率.構造圖形時應積極聯系相關知識，吃透已知條件含義，從幾何角度分析參數之間的關系，尤其在解決向量問題時構造圖形可大大簡化解題過程.為使學生掌握運用構造法解答數學問題的技巧，在解題中少走彎路，應啟發學生在學習的過程中養成多思考、多總結的良好習慣，并進行多角度分析問題，真正把握相關知識本質.

分析該題采用常規解法難度較大，如能充分吃透向量的幾何意義，通過構造圖形，便可很快得出正確答案.

解析根據題意建立平面直角坐標系，

圖1

高中數學解題教學中應注重與學生一起總結常用的構造方法，把握不同構造方法之間的區別以及適用題型，通過在課堂上不斷強調構造法的重要性，提高學生對構造法重要性的認識，并優選精講典型例題，為學生展示具體的構造過程.同時，鼓勵學生學會聽課，做好聽課的總結，不斷反思，及時找到自身運用構造法解題的不足，加以針對性的夯實.