以分段函數(shù)為背景函數(shù)零點(diǎn)問題的解法及反思

劉忠?guī)r

(山東省東明縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 274500)

1 真題呈現(xiàn)

此題以分段函數(shù)為問題背景，合理交匯與融合了分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、一元二次方程根的分布以及參數(shù)的取值范圍等相關(guān)問題，破解的基本思想方法是等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合與分類討論等，利用導(dǎo)數(shù)、一元二次方程、不等式與基本不等式、函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及特殊值等進(jìn)行分析與確定參數(shù)的取值范圍．

2 真題破解

方法1(數(shù)形結(jié)合法1)若函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則方程f(x)=|kx2-2x|有四個(gè)根，即函數(shù)y=f(x)與y=h(x)=|kx2-2x|的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)k=0時(shí)，y=f(x)與y=|-2x|=2|x|的圖象如圖1，兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

圖1 圖2 圖3

點(diǎn)評(píng)根據(jù)題目條件，將問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=|kx2-2x|有四個(gè)根，即函數(shù)y=f(x)與y=h(x)=|kx2-2x|的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，再分三種情況:當(dāng)k=0時(shí)，當(dāng)k<0時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，討論兩個(gè)函數(shù)是否能有4個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而得出k的取值范圍．不同情況下對(duì)應(yīng)不同的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，合情推理．

方法2 (數(shù)形結(jié)合法2)由于函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)y=f(x)的草圖.

圖4 圖5

當(dāng)k<0時(shí)，如圖4，此時(shí)兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)(在右邊足夠遠(yuǎn)時(shí)有1個(gè)交點(diǎn))；

當(dāng)k>0時(shí)，如圖5，兩函數(shù)的圖象相交時(shí)，此時(shí)兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)k=0時(shí)，顯然不成立.

故選D．

點(diǎn)評(píng)根據(jù)題目條件，直接把函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)，從而利用參數(shù)k的分類討論，通過k<0，k>0以及k=0三種不同情況下的函數(shù)圖象加以數(shù)形直觀，結(jié)合方程的轉(zhuǎn)化與判別式的應(yīng)用來確定參數(shù)的取值范圍問題．

當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)y=2.

當(dāng)k<0時(shí)，如圖7，

當(dāng)k>0時(shí)，如圖8，當(dāng)y=kx-2與y=x2相切時(shí)，

聯(lián)立方程,得x2-kx+2=0，

圖6 圖7 圖8

故選D．

方法4 (特殊值排除法)由于函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)y=f(x)的草圖，構(gòu)造函數(shù)h(x)=|kx2-2x|=|x(kx-2)|.

(1)當(dāng)k→+∞時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的張口逐漸變小，如圖9所示，可以判斷兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，由此可以排除選項(xiàng)B,C；

故選D．

圖9 圖10

點(diǎn)評(píng)根據(jù)題目條件，直接把函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=|kx2-2x|的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)，小題小做，通過特殊值的合理選取，結(jié)合k→+∞時(shí)二次函數(shù)圖象的開口變形趨勢(shì)加以動(dòng)態(tài)分析，快速排除；

3 解后反思

涉及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是歷年高考中的常考題型，難度中等、背景多變、形式多樣，可以確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以確定參數(shù)取值等，是知識(shí)交匯與融合的一大場(chǎng)所．此類問題的破解基本思路是，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程的根的個(gè)數(shù)問題，而對(duì)于不能直接求解方程的問題時(shí)，往往又可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易于作圖的函數(shù)的圖象問題，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來等價(jià)轉(zhuǎn)化與處理．