利用函數(shù)思想求解三角形中的范圍問題

孟 彪

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) 210048)

梳理近十年的高考真題和對(duì)高考評(píng)價(jià)體系的研究發(fā)現(xiàn)：核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的命題重視學(xué)科觀念、學(xué)科思維和規(guī)律的考查，單純以知識(shí)作為復(fù)習(xí)導(dǎo)向顯然不能適應(yīng)新高考的發(fā)展要求.因此，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的核心是要通過知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，提升學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的思維能力和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的問題解決能力，進(jìn)而提升學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)框架.2019年教育部考試中心《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》及其說(shuō)明的出版，《高考考試大綱》及其說(shuō)明的取消，標(biāo)志著高考評(píng)價(jià)體系成為高考命題新的依據(jù)、標(biāo)準(zhǔn)和指南.因而，對(duì)高考真題的研究勢(shì)在必行.

1 關(guān)于三角形角度的范圍問題

解決此類問題的一般思路是：利用三角形內(nèi)角和關(guān)系，將多角度的多變量問題轉(zhuǎn)化為同一角度的單變量問題，進(jìn)而利用三角函數(shù)求解.

(1)求角B的大小;

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

(2)因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，

所以cosA+cosB+cosC

2 關(guān)于三角形邊長(zhǎng)的范圍問題

解決此類問題的一般思路是：①運(yùn)用正弦或余弦定理，直接轉(zhuǎn)化為邊的一元函數(shù)問題；②運(yùn)用正弦或余弦定理，將邊化角，轉(zhuǎn)化為同一角度的三角函數(shù)問題.

例2 (2015年全國(guó)Ⅰ卷理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

圖1

因?yàn)锽C=2,在△PBC中，

由正弦定理，得

圖2

由正弦定理，得

3 關(guān)于三角形面積的范圍問題

解決此類問題的一般思路是：運(yùn)用正弦或余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于同一個(gè)角的三角函數(shù)求解.

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

(2)由正弦定理，得

4 關(guān)于三角形周長(zhǎng)的范圍問題

解決此類問題的一般思路是：

(1)運(yùn)用正弦或余弦定理，將邊化角，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于同一個(gè)角的三角函數(shù)問題；

(2)運(yùn)用正弦或余弦定理，將角化邊，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的一、二元函數(shù)問題，對(duì)于一元函數(shù)問題，可以運(yùn)用單調(diào)性或?qū)?shù)解決；對(duì)于二元函數(shù)問題，可以利用基本不等式解決.

解法1 邊化角，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)問題.

由正弦定理，得

解法2 角化邊，轉(zhuǎn)化為邊的一元函數(shù)問題.

由余弦定理，得

b2=a2-a+1.

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，

即b2+1-a2>0.

同理a2+b2-1>0.

以上呈現(xiàn)了近幾年的高考真題中解三角形的范圍問題，可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)思想是解決該類題型的有效方法.解決此類問題的核心思想是：以正、余弦定理為媒介，將已知條件和題目的隱含條件轉(zhuǎn)化為知二求二問題，即關(guān)于角度的三角函數(shù)問題或者關(guān)于邊的一元、二元函數(shù)問題，進(jìn)而利用函數(shù)的思想解決三角形中的范圍問題.本文僅從函數(shù)思想的角度闡述解三角形中的范圍問題的一般處理方法，為多元化的解題教學(xué)提供一個(gè)思路.