用特征根法求數(shù)列通項公式

劉大鵬

(遼寧省黑山縣第一高級中學 121400)

本文用特征根法解決已知a1,a2,an+2=aan+1+ban，求數(shù)列通項公式型問題.

1 特征方程及特征根的定義

定義方程x2-ax-b=0叫做遞推公式an+2=aan+1+ban的特征方程，其根叫做特征根.

證明(用第二數(shù)學歸納法)

(1)當n=1時，a1=c1x1+c2x2結(jié)論成立.

當n=k+1時，

ak+1=aak+bak-1

綜上，結(jié)論對一切自然數(shù)n都成立.

解析特征方程為x2-2x-3=0，

解得x1=-1,x2=3.

所以an=c1(-1)n+c23n.

例2 (2006年福建文22)已知數(shù)列{an}，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,n∈N*，求{an}的通項公式.

解析特征方程x2-3x+2=0的根為x1=1,x2=2.

所以an=c1+c22n.

解得c1=-1,c2=1.

所以an=-1+2n.

證明(1)當n=1時，a1=(c1+c2)x0結(jié)論成立.

ak+1=aak+bak-1

綜上，結(jié)論對一切自然數(shù)n都成立.

例3 (2008年天津文20)數(shù)列{an}中，a1=1,a2=2,an+1-an=q(an-an-1),(n≥2,q≠0)，求{an}的通項公式.

解析特征方程x2-(q+1)x+q=0的根為x1=1,x2=q.

①當q=1時，an=(c1+c2n),

所以an=n.

②當q≠1時，an=c1+c2qn,

定理3 若特征方程有兩個共軛虛根

x1=r(cosθ+isinθ),x2=r(cosθ-isinθ)，

則an=rn(c1cosnθ+c2sinnθ)，

證明見文[2].

例4 (自編新題)已知數(shù)列{an}，a1=1,a2=3,an+2=2an+1-4an,n∈N*，求{an}的通項公式.

解析特征方程x2-2x+4=0的根為