橢圓切線方程的推導及其簡單運用

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

證法1 (判別式法)[4]當過橢圓上一點P(x0，y0)的切線的斜率存在時，設切線方程為y=kx+m，將其代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2，化簡并整理得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

因為直線與橢圓相切，

所以Δ=(2a2km)2-4(a2k2+b2)(a2m2-a2b2) =0，

化簡得a2k2-m2+b2=0.

當過橢圓上一點P(x0，y0)的切線的斜率不存在時，切線方程為x=±a，滿足上式.

證法2 (判別式法)[3]當過橢圓上一點P(x0，y0)的切線的斜率存在時，設切線方程為y-y0=k(x-x0)，即y=kx-kx0+y0.

將其代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2，

化簡并整理得(a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

因為直線與橢圓相切，所以有

Δ=4a4k2(y0-kx0)2-4a2(a2k2+b2)[(y0-kx0)2-b2]=0.

從而可解得

故切線方程為

進一步化為

所以b2x0x+a2y0y=a2b2.

當過橢圓上一點P(x0，y0)的切線的斜率不存在時，切線方程為x=±a，滿足上式.

所以在點P(x0，y0)處的切線的斜率為

以下同證法2.

在研究此題的解答時，發現此題可以引申、推廣得到如下圓錐曲線的兩個美好性質.

證明略，留給感興趣的讀者朋友證明.

(1)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標；

(2)若過原點O的直線l1與l垂直.證明：點P到直線l1的距離的最大值為a-b.

解析(1)設P(x0，y0)，

(2)依題意得直線l1的方程為a2y0x-b2x0y=0.故P(x0，y0)到直線l1的距離為

所以由柯西不等式得

所以點P到直線l1的距離的最大值為a-b.

過雙曲線和拋物線上一點P(x0，y0)的切線方程的推導方法可類比于過橢圓上一點P(x0，y0)的切線方程的推導方法，在這里限于篇幅，推導從略，讀者朋友不妨試一試.