從幾何關(guān)系著手 靈活求解離心率

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

1 題目呈現(xiàn)

2 總體分析

此題是2022年高考備考習(xí)題，通過初步分析題目，很容易理解為直線(漸近線)與圓的位置關(guān)系的常規(guī)題，從而選擇解題模型中的直角三角形來求解.事實上，本題可以選擇直接利用弦長公式求解，因為直線(漸近線)過坐標(biāo)原點，所以消x或消y原則上均可；直線過定點——原點，可設(shè)直線的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義完成解答；也可利用極徑的幾何意義來解答；基于圖象的對稱性，還可以數(shù)形結(jié)合來快速完成解答.

3 試題解答

視角1 利用直線與圓的位置關(guān)系，借助直角三角形求解.

解法1 取雙曲線的一條漸近線：bx+ay=0，記圓為M.

因為弦長|AB|=2，

評注解法1是常規(guī)解法，只要熟悉直線與圓的位置關(guān)系，涉及弦長問題，教師都會引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先向這個方向思考和解答，解題稍微熟練一點的學(xué)生基本上也會不假思索地選擇此法.

如果此題分析到此結(jié)束，其實只是就題解題，缺乏了必要的思考，也扼殺了部分程度好的學(xué)生的思考和思維的歷練，下面筆者和大家進(jìn)一步分析和解答.

視角2 直接利用弦長公式求解.

消去y，結(jié)合c2=a2+b2，得

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

由弦長公式，得

代入整理，得3c2=4b2，

解得e=2.

消去x，結(jié)合c2=a2+b2，得

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

由弦長公式，得

代入整理，得3c2=4b2，解得e=2.

評注弦長公式是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中涉及求弦長問題時的通用方法，自然牽涉到直線與圓的弦長問題時也是可用的，只不過計算過程較為繁瑣一些.其實在平時的教學(xué)過程中，進(jìn)行相關(guān)試題解答時，筆者發(fā)現(xiàn)還是會有少部分同學(xué)選擇利用弦長公式求解，原因是他們對幾何關(guān)系的熟練程度不夠，認(rèn)為聯(lián)立方程思維量更小一些，接下來就是代入計算的問題，當(dāng)然這就對我們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的運算求解能力提出了更高的要求.另外，聯(lián)立后消x還是消y，取決試題中消哪一個變量求解更方便和更簡潔一些，尤其是橢圓、雙曲線與直線的相交弦問題.

視角3 借助參數(shù)的幾何意義求解.

設(shè)A,B的參數(shù)分別為t1,t2，則

由參數(shù)的幾何意義可得

視角4利用極坐標(biāo)中極徑的幾何意義求解.

解法5在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

由x=ρcosθ，y=ρsinθ易得

設(shè)點A,B的極坐標(biāo)分別為A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ)，

由極徑的幾何意義可得

解得e=2.

評注此解法充分利用極徑的幾何意義求解，過程簡潔，且與參數(shù)方程有相通之處.雖然在一些新高考地區(qū)，這部分內(nèi)容高考已經(jīng)不作要求，但作為教師來說，還是有必要將各種方法融會貫通，提升教師的專業(yè)素養(yǎng).

4 關(guān)于深度教學(xué)與深度學(xué)習(xí)的再認(rèn)識

深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵：就是在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心參與、體驗成功，獲得發(fā)展的有意義的主動學(xué)習(xí)的過程.

高中數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)和復(fù)雜學(xué)科，需要學(xué)生進(jìn)行高效率的學(xué)習(xí)，才能熟練掌握數(shù)學(xué)知識.為了更好地優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量，提升教學(xué)效率，高中數(shù)學(xué)教師需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握深度學(xué)習(xí)模式，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生良好的理性思維.老師在講題過程中，一定要善于引導(dǎo)與啟發(fā)學(xué)生，不要急于給出解答方法，讓學(xué)生去試錯、去比較，讓學(xué)生在解題中不斷思考、拓展自己的思維，提高解題能力，同時在各種不同方法的比較中尋找解某一道題的最佳解法,達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果.

高中生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開深度學(xué)習(xí)模式，而核心素養(yǎng)的存在又能進(jìn)一步推動學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力，二者相輔相成；同時，高中生“深度學(xué)習(xí)”能力的培養(yǎng)與教師的深度教學(xué)水平息息相關(guān)，我們要革新陳舊的教學(xué)思想，采用多元化的教學(xué)模式，進(jìn)而從服務(wù)學(xué)生、培養(yǎng)核心素養(yǎng)等途徑強化高中生的深度學(xué)習(xí)意識.