源于教材 高于教材
——例談ex≥x+1在高考導數題中的應用

符強如

(新疆烏魯木齊市實驗學校 830026)

1 源于教材的不等式

人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-1)》第32頁習題1.3B組第1題第(3)題：利用函數單調性，證明不等式ex>x+1,x≠0，并通過函數圖象直觀驗證.

這個不等式的證明比較簡單，只需構造函數f(x)=ex-x-1(x≠0),則f′(x)=ex-1.

當x>0時，f′(x)>0，則

f(x)在x∈(0,+∞)上單調遞增，

當x<0時，f′(x)<0，則

f(x)在x∈(-∞,0)上單調遞減.

故x≠0時，f(x)>f(0)=0.

不等式ex>x+1,x≠0得證.

函數圖象如圖1.

圖1 圖2 圖3

這個不等式亦可以這樣表述：當x∈R時，ex≥x+1(當x=0時等號成立).其可稱為“指數基本不等式”，其活躍在近幾年高考真題、各地模擬考試題和競賽題中.它可演繹出很多經典不等式，為解決函數大小問題、導數含參問題等提供一種簡潔高效的解題視野.

2 級數背景

3 不等式演繹

對于ex≥x+1，兩邊取以e為底的對數可得x≥ln(x+1)(x>-1)，易得x-1≥lnx(x>0)，當x=1時取等號.圖2為其圖象視野，即函數y=lnx在點(1,0)處的切線方程為y=x-1.

4 應用舉例

例1(2020年全國卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解法1 由ex≥x+1，易得x-1≥lnx.

由ex≥x+1可得aex-1=elna+x-1≥lna+x-1+1.

由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.

故f(x)≥lna+x-1+1+1-x+lna≥2lna+1.(當x=1時取等號)

由題知f(x)≥1，所以2lna+1≥1，解得a≥1.

解法2改頭換面進行合情合理放縮.故此題也可以從這個角度去解決，

由ex≥x+1可得aex-1≥ax.

由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.

因為f(x)=aex-1-lnx+lna≥1，

所以ax-x+1+lna≥1.

所以(a-1)x≥-lna恒成立.

當a≥1時，(a-1)x≥-lna恒成立,

當a<1時，(a-1)x<-lna,與題意不符.

綜上a≥1.

例2(2017年全國卷)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值.

解析(1)定義域為x∈(0,+∞).

由題知f(x)≥0，即x-1≥alnx.

易知函數y=lnx在點(1,0)處的切線方程為y=x-1,如圖2.

對于x-1≥alnx左右兩邊函數都過定點(1,0)，

當a=1，x-1≥lnx(當x=1時取等號)恒成立.

當a<1時，在[1,+∞)必存在一根x0使x0-1=alnx0，

所以x∈(1,x0),x-1

同理，當a<1，x∈(0,1),x-1

綜上可得，a=1.

當n≥3時,

故所求m的最小值為3.

評注根據不等式特征，利用指數基本不等式ex≥x+1進行適當的放縮，結合指數運算性質來解決問題.其實本題是有一個遞進關系的導函數問題，通過導數解決問題(1)中的不等式的恒成立，利用不等式x-1≥lnx(當x=1時取等號)，再利用對數性質，對不等式進行變形放縮處理即可，具體解法如下：

x∈(1,+∞)時，lnx

故m的最小值為3.

證明要證f(x)≥0，即證aex-lnx-1≥0.

只需證ex-1-lnx-1≥0.只需證ex-1-1≥lnx.

易知ex≥x+1.故ex-1-1≥x-1+1-1.

即ex-1-1≥x-1.知x-1≥lnx.

故ex-1-1≥lnx(當x=1時取等號)恒成立，

評注對于例3的解法諸多，有的是通過設而不求的方法，判函數y=f(x)的最小非負;有的是根據f(x)≥0通過分參或分類的方法求出a的范圍從而證得f(x)≥0；還有的是通過構造函數或者放縮證明，但對運算能力和思維能力有一定要求.其實本題的命題者是站在函數y=ex在x=0處的泰勒展開式的背景下進行命題的，站在高處來俯視高中數學問題，若教師與學生能夠領會命題者的意圖，就能快速準確地找到解決問題的方向與方法.

評注根據前面的解題，此題的解法思路清晰，放縮也有章可循，操作性強，可一步到位.

導函數證明不等式方向有很多，一般通過導數研究函數單調性，遇到不可求的極值點時，可選擇代換，再由單調性證明不等式.有時遇到指數、對數函數不等式證明時，指數基本不等式是一種可以快速解決的方法.

5 不等式鏈的拓展

通過ex≥x+1可以延拓得到另外的一些相關不等式鏈.(可以用求導來證明，過程略)

ln(x+1)

通過上面一系列的例題，我們可以很清楚看到它們有相同的源頭，即源于教材的不等式ex≥x+1，其演繹變形出豐富有用的不等式鏈，是解決高考某些導函數不等式問題的有力工具，其不同于教材，不拘于教材，又高于教材.這啟示高三復習回歸教材是正道，回歸教材不是簡單閱讀教材、不是簡單羅列知識、不是簡單梳理方法、不是對教學過程的簡單重現，而是對學科知識脈絡的建構、對教材編者意圖的領悟、對教材隱性知識的挖掘、對學科知識本質的把握.不能僅局限于教材正文部分，還應拓展教材習題部分和閱讀材料.對教材中間接隱含的一些結論需要開發，這些結論往往會成為高考命題的重要素材，是解答高考試題的重要工具，對平時教學中指導學生要尋“根”究“本”有重要啟示作用，唯有如此復習便高質有效.