巧建坐標(biāo)系 速解斜面上的拋體運(yùn)動問題

何仕乾

(重慶市永川中學(xué)校 402160)

拋體運(yùn)動是曲線運(yùn)動的一種特殊情形，是研究曲線運(yùn)動規(guī)律和方法的例子.拋體運(yùn)動，涉及運(yùn)動的合成與分解.教材中重點(diǎn)學(xué)習(xí)了平拋運(yùn)動.平拋運(yùn)動的處理方法，一般將其分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體運(yùn)動.實(shí)際教學(xué)中，試圖通過平拋運(yùn)動的重點(diǎn)學(xué)習(xí)，希望學(xué)生能“舉一反三”，能夠用類似的規(guī)律和方法處理其它方向的拋體運(yùn)動.

斜面上的拋體運(yùn)動，一般只涉及初速度方向水平的情形.拋出的物體若落在斜面上，用速度偏向角與位移偏向角的關(guān)系解答相關(guān)問題，若落在水平面上，則按一般的平拋運(yùn)動解答即可.筆者在教學(xué)中，經(jīng)常遇到學(xué)生探討初速度方向不水平的問題.在指導(dǎo)學(xué)生解答相關(guān)問題時，若學(xué)生建立不同方向的坐標(biāo)系，解答過程涉及的運(yùn)算量相差較大.如何優(yōu)化解法，提高效率，下面從一道典型習(xí)題說起.

問題如圖1所示，在一傾斜角為θ，足夠長的斜面上，垂直斜面向上以v0拋出一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，不計(jì)空氣阻力，試求小球落在斜面上時的速度.

圖1

圖2

解法1 以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示坐標(biāo)系，相對x坐標(biāo)軸，小球做斜拋運(yùn)動.將小球的運(yùn)動分解為水平方向和豎直方向兩個分運(yùn)動.即水平方向以vx=v0sinθ為初速度做勻速直線運(yùn)動，豎直方向以vy=v0cosθ為初速度做豎直上拋運(yùn)動.

令歷時t小球落到斜面上P點(diǎn),則

x=(v0sinθ)t，

在p處，沿y方向的速度為

vy=-v0cosθ+gt

合速度為

與水平方向的夾角為β，則

解法2如解法1，仍以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示坐標(biāo)系，由數(shù)學(xué)知識可知，小球落在P點(diǎn)，即在xoy坐標(biāo)系中，斜面所在的直線與小球軌跡形成的拋物線交于P點(diǎn).

斜面所在直線方程為

y=xtanθ

①

拋物線的方程，由豎直上拋運(yùn)動可知，頂點(diǎn)O′的縱坐標(biāo)為

上升到O′的時間為

頂點(diǎn)O′橫坐標(biāo)為

當(dāng)在O′點(diǎn)以水平速度vO′平拋小球時，其拋物線方程為

綜上，可列出小球運(yùn)動軌跡拋物線方程為

②

聯(lián)立①②可得

解得：x=0(初始拋出點(diǎn)舍去)，

從O點(diǎn)到P點(diǎn)，水平方向勻速運(yùn)動，令歷時為t,則

在p處，沿y方向的速度為

vy=-v0cosθ+gt

合速度為

與水平方向的夾角為β，則

解法3 沿斜面方向和垂直斜面方向，建立如圖3所示坐標(biāo)系，則小球的運(yùn)動可看作兩個分運(yùn)動：

沿x方向的初速度為v0，加速度大小為ax=gcosθ的勻減速直線運(yùn)動，沿y方向初速度為0，加速度大小為ay=gsinθ的勻加速直線運(yùn)動.

圖3

小球從拋出到落在斜面上的時間，可由x方向的運(yùn)動求出.在x方向上，相對于斜面，類似豎直上拋運(yùn)動，小球離開斜面減速至0，又反向加速回到斜面的時間相等，即有

回到斜面p點(diǎn)時，沿x負(fù)方向的速度大小為

vx=v0.

打在p點(diǎn)時，沿y方向的速度即為

p點(diǎn)速度大小為：

令vp與y軸的夾角為α，則

與水平方向的夾角為β，則

β=α+θ.

不難得到

總結(jié)此例中，由于初速度方向與重力加速度方向夾角不特殊，需要對涉及的兩個矢量進(jìn)行分解.分解不同矢量，在解答過程中涉及的運(yùn)算量相差很大，對學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題的要求較高.拋體運(yùn)動相關(guān)知識是高一教學(xué)內(nèi)容，對于高一學(xué)生，此例中涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算對他們而言有難度，解法1將豎直方向的分運(yùn)動整體考慮，實(shí)際教學(xué)中學(xué)生也不易掌握，他們更愿意將豎直上升過程和自由下落過程分段處理，這些需要在學(xué)生處理過程中進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥.

比較以上解法，關(guān)鍵在求解小球離開斜面的時間(空中運(yùn)動時間)，解法3選擇斜面為參考面，分解重力加速度無疑是快、準(zhǔn)、穩(wěn).求得時間后，在確定P點(diǎn)速度大小和方向時，解法1優(yōu)勢明顯.解法2對于數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生可嘗試，“技多不壓身”，多一種方法，多一分能力.

本例初速度方向與斜面垂直，雖然情形仍然特殊，但對于高中階段的學(xué)習(xí)，已屬于較高要求.當(dāng)初速度方向與斜面夾角不是特殊的垂直關(guān)系時，由上述兩種解法可知，仍然可由解法3求空中運(yùn)動時間，由解法1確定落點(diǎn)處的水平方向和豎直方向分速度，從而求得落點(diǎn)處合速度的大小和方向.