用柯西不等式及其一個推論解題

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，

當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個常數k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時等號成立.

推論(權方和不等式)若x1,x2,…,xn∈R,y1,y2,…,yn∈R+,n≥2，則

1 求最值

解法1 設x=a+5(x>5),y=b+3(y>3)，

可得a=x-5,b=y-3,x+y=11.

解法2 由題設及推論，可得

題2 (2017年全國高中數學聯賽廣西賽區預賽試卷第8題)過半徑為5的球面上一點P作三條兩兩互相垂直的弦PA,PB,PC使得PA=2PB，則PA+PB+PC的最大值為____.

解析可得以PA,PB,PC為共頂點的三條棱的長方體內接于球，且該長方體的體對角線長為球的直徑，所以PA2+PB2+PC2=(2×5)2,5PB2+PC2=100.

再由推論，可得

題3已知實數a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的最大值和最小值.

解析由題設及柯西不等式，可得

≥(b+c+d)2，

當且僅當2b=3c=6d時取等號.

即5-a2≥(3-a)2，解得1≤a≤2.

進而可得，

所以a的最大值和最小值分別是2，1.

解析由柯西不等式，可得

=40,

解析由柯西不等式，可得

當且僅當x-6=31-x，

解析由推論，可得

進而可得，當且僅當a1=a2=…=a2017=1時，

2 求值

解析由推論及均值不等式，可得

即x=y=2，進而可得x+y=4.

解析由推論，可得

3 證明不等式

證明可得a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,a2+d2≥2ad,b2+c2≥2bc,b2+d2≥2bd,c2+d2≥2cd.

把它們相加后，可得

3(a2+b2+c2+d2)

≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

故3(a+b+c+d)2

≥8(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

0<4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

再由推論，可得

≥(a+b+c+d)2/[a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+3c)]

證明由推論，可得

證明由推論，可得

=x1+x2+…+xn.

題12 (第24屆(1983年)IMO試題第6題)設a,b,c是某個三角形的三邊長，求證：a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0，并給出等號成立的條件.

圖1

證明如圖1所示，作△ABC的內切圓，可得從點A出發的兩切線長均相等，設為x；點B出發的兩切線長均相等，設為y；點C出發的兩切線長均相等，設為z，則

a=y+z,b=z+x,c=x+y.

所以要證不等式等價于

(y+z)2(z+x)(y-x)+(z+x)2(x+y)(z-y)+(x+y)2(y+z)(x-z)≥0.

即xy3+yz3+zx3≥xyz(x+y+z).

再由(1)的解答可得該不等式成立，且(2)中的不等式取等號的充要條件是a=b=c.

證明由推論，可得

題14求證：

(1)若a1,a2,…,an是正的實常數，a0,p,q是實常數，x0,x1,…,xn是實變數，且滿足

則x0的取值范圍是

(3)(Laguerre不等式)若

證明(1)由題設及柯西不等式，可得

當且僅當a1x1=a2x2=…=anxn時取等號.

進而可得欲證結論成立.

(2)由(1)可得.

=n(p2-2q)-2q,

所以p2≤(p2-2q)(n+1)，再由(1)的結論可得欲證結論成立.