關(guān)于“十字相乘法”的教學(xué)建議

白禮虎

摘要：新的課程標準雖然刪除了“十字相乘法”，但是在實際教學(xué)中，很多初高中老師仍將其作為一個重要內(nèi)容補充給學(xué)生，用以鍛煉學(xué)生的思維和能力。鑒于此文中給出了四個教學(xué)片斷，并對“十字相乘法”的教學(xué)給出了一些建議，以供參考。

關(guān)鍵詞：十字相乘法;判別式;試誤;教學(xué)

中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2022）-2-

整式乘法和因式分解是初中數(shù)學(xué)一個非常重要的內(nèi)容，二者是一個互逆的過程。單就思維量而言，整式乘法要少一點，因式分解要復(fù)雜一些。文[1]中給出了十字相乘法的基本原理，同時對“十字相乘法”與“求根公式法”進行了比較，并且指出后者更具一般性，是適應(yīng)性更寬的“通性通法”。新的課程標準《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標（2011年版）》認為“十字相乘法”不是一般方法，故而刪去了“十字相乘法”。但是很多一線教師和學(xué)者對此不太贊同， 文[2] 中認為“十字相乘法”可以對學(xué)生進行素質(zhì)教育，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和探索精神。文[3]中認為“十字相乘法”并未增加多少學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔，呼吁給“十字相乘法”留一席之地。文[4]中經(jīng)過調(diào)查得出，初中數(shù)學(xué)教師在講解因式分解過程中將其作為教學(xué)知識進行補充、高中數(shù)學(xué)教師在初高中知識銜接過程中將其作為教學(xué)知識進行補充是一個普遍現(xiàn)象.

本文就這一問題談?wù)勛约旱恼J識，從“十字相乘法”的解題過程來看，將二次項和常數(shù)項分解后，交叉相乘再相加要等于一次項系數(shù)。問題的關(guān)鍵在于分解的不唯一性從而導(dǎo)致可能要多次嘗試才能湊成中間的一次項系數(shù)。試誤的過程加大了計算的難度，而且并不是所有的二次三項式都可以用，所以課本在因式分解一節(jié)中只介紹了提公因式法和公式法以及簡單的分組分解法，對于“十字相乘法”只字未提。但是從實際教學(xué)角度來看很多教師傾向于添加“十字相乘法”作為補充內(nèi)容。這主要是因為增加之后可以很好的鍛煉學(xué)生的思維并鞏固所學(xué)內(nèi)容。學(xué)生一旦掌握，對于二次三項式的因式分解以及解一元二次方程和不等式都有更快速的解題優(yōu)勢。故而我認為盡管教材刪除了，但我們?nèi)匀豢梢宰鳛檠a充內(nèi)容好好的講解一下。那么究竟如何添加，講解時要注意哪些要點，下面我給出四個教學(xué)片斷供大家教學(xué)參考。

教學(xué)片斷一：

問題：形如可以因式分解嗎？

設(shè)計意圖：在分組分解的基礎(chǔ)上讓學(xué)生掌握十字相乘法的一般原理。

教學(xué)片斷二：

十字相乘法的形式：

舉例：因式分解

一般形式：

其中，，

步驟： ?1. 將常數(shù)項和二次項進行分解

交叉相乘和相加，湊成中間一次項

橫寫因式即可

簡記為：豎向分解，交叉相乘，求和湊中，橫寫因式

規(guī)律： ?1. 先將常數(shù)項分解成兩個有理數(shù)的乘積，再看這兩個有理數(shù)的和是否等于一次項的系數(shù)。

2. 當常數(shù)項為正數(shù)時，拆成的兩個有理數(shù)一定同號，符號與一次項系數(shù)相同;當常數(shù)項是負數(shù)時，拆成的兩個有理數(shù)異號，絕對值較大的數(shù)與一次項系數(shù)同號。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生理解十字相乘法的格式，掌握常數(shù)項的分解規(guī)律。

教學(xué)反思：教學(xué)片斷一、二是在因式分解中介紹提公因式法、公式法和分組分解法后緊跟著介紹“十字相乘法”。此時更多的以規(guī)律的形式給出，借助分組分解法，讓學(xué)生掌握“十字相乘法”的一般原理，同時給出較簡單的可以用“十字相乘法”的運算習(xí)題。第一課時注重對原理的理解，形式的把握，題目難度要嚴格控制。

教學(xué)片斷三：

問題1：所有形如的式子都可以用“十字相乘法”嗎？

舉例：可以用“十字相乘法”嗎？

讓學(xué)生先來解一元二次方程，計算判別式

，

此時一定有兩個根而且由于判別式不能開根，所以一定是兩個無理根，此時不能用。

如果改成，可以嗎？

問題2：你可以得出能用“十字相乘法”的判斷標準嗎？

結(jié)論：用判別式進行判定，如果可以開根，則可以用“十字相乘法”得到有理根。

設(shè)計意圖：本節(jié)內(nèi)容放在一元二次方程后面，進一步介紹“十字相乘法”的適用范圍，給出了“十字相乘法”的一個判定標準，避免盲目試誤。

教學(xué)片斷四：

問題：可以用十字相乘法嗎？如果可以，該怎么分解？

舉例：因式分解

先算判別式，可以開根。

結(jié)論：當二次項系數(shù)不為1時，也可對其進行分解 。

一般形式：

其中，，，

設(shè)計意圖：將“十字相乘法”進一步擴展到二次項系數(shù)不為1的情況，讓學(xué)生更深刻體會它的形式和原理。

教學(xué)反思：教學(xué)片斷三和四，作為第二課時要到二次函數(shù)和一元二次方程結(jié)束之后，進一步討論“十字相乘法”。此時學(xué)生已對“十字相乘法”有了一定的了解，要著重從判別式的角度對該方法的適用情景做探討，并且進一步將“十字相乘法”推廣到二次項系數(shù)不為1的情況。

小結(jié)

文中以四個教學(xué)片斷展示了“十字相乘法”教學(xué)的幾個主要內(nèi)容，即“十字相乘法”的原理，求解的過程，適用的判斷方法以及推廣到二次項系數(shù)不為1的情況。建議分兩個課時從兩個不同的時間段進行切入。第一個為初學(xué)階段，重點為原理;第二個為深入階段，重點為靈活運用。在第一個階段，學(xué)生初次接觸到“十字相乘法”，要引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，注重學(xué)生的探索精神的培養(yǎng)。第二個階段，學(xué)生已學(xué)習(xí)了二次函數(shù)以及一元二次方程的相關(guān)內(nèi)容，特別是求根公式的使用，可以和學(xué)生講解“求根公式法”和“十字相乘法”二者之間的聯(lián)系，讓學(xué)生靈活運用。

參考文獻

[1]王尚志，張思明，胡鳳娟.如何認識“十字相乘法”？（一）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（11）：6-8.

[2]鄺孔秀.“十字相乘法”該刪嗎？[J].數(shù)學(xué)通報，2001（10）：22-23.

[3]王懷喜.請給“十字相乘法”留一席之地[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（Z1）：84.

[4]郭蕊. 初中數(shù)學(xué)“十字相乘法”教與學(xué)的調(diào)查研究[D].新疆師范大學(xué)，2016.