概率中的數學思想解題研究

劉金田

(山東省壽光市圣都中學)

隨機變量及其分布問題，涉及知識點較多，聯系廣泛，是高考考查的熱點.由于許多問題情形復雜，求解時難度較大，在解決問題時，若能很好地運用數學思想，則往往能化難為易，起到“柳暗花明”的效果.下面舉例說明數學思想在求解隨機變量及分布問題中的應用.

1 函數方程思想

例1(2021年浙江卷15)袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為ξ，若取出的兩個球都是紅球的概率為一紅一黃的概率為

解析

由題意，ξ的可能取值為0，1，2，所以

點評

例2(2021年新高考Ⅱ卷21)一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3).

(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X);

(2)設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概 率，p是 關 于x的 方 程:p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，求證:當E(X)≤1時，p＝1;當E(X)＞1時，p＜1;

(3)根據你的理解說明第(2)問結論的實際含義.

解析

(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.

(2)設f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，因為p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，若E(X)≤1，則p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0，且知

因為f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，所以f′(x)有兩個不同零點x1，x2，且x1＜0＜1≤x2，當x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時，f′(x)＞0;當x∈(x1，x2)時，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減.

若x2＝1，因為f(x)在(x2，＋∞)單調遞增且f(1)＝0，而當x∈(0，x2)時，因為f(x)在(0，x2)上單調遞減，故f(x)＞f(x2)＝f(1)＝0，故1為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根.

若x2＞1，因為f(1)＝0且f(x)在(0，x2)上單調遞減，故1為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根.

綜上，若E(X)≤1，則p＝1.

若E(X)＞1，則p1＋2p2＋3p3＞1，故p2＋2p3＞p0.此時f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f′(1)＝p2＋2p3－p0＞0，故f′(x)有兩個不同零點x3，x4，且x3＜0＜x4＜1，當x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)時，f′(x)＞0;當x∈(x3，x4)時，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上單調遞增，在(x3，x4)上單調遞減.

而f(1)＝0，故f(x4)＜0，又f(0)＝p0＞0，故f(x)在(0，x4)存在一個零點p′，且p′＜1.p為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，此時p＝p′＜1，故當E(X)＞1時，p＜1.

(3)若每一個這種微生物繁殖后代的平均數不超過1，則若干代必然滅絕;若繁殖后代的平均數超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1，這種微生物會多代繁殖下去.

點評

本題第(2)問利用導數討論函數的單調性，結合f(1)＝0及極值點的范圍可得f(x)的最小正零點，第(3)問利用期望的意義及根的范圍可得相應的說明，充分體現了隨機變量的數學期望與方差和函數、導數知識的交會及函數方程思想在解題中的運用.

2 分類討論思想

例3(2019年全國Ⅰ卷理15)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束).根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是_________.

解析

前五場中有一場客場輸時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108;前五場中有一場主場輸時，甲隊以4∶1獲勝的概率是

綜上，甲隊以4∶1獲勝的概率是

點評

本題運用了分類討論思想，即對前五場甲隊獲勝的兩種情況進行分類，并運用事件獨立性的公式進行求解，注重對基礎知識、基本計算能力及分類討論思想的考查.

3 數形結合思想

例4(2021年新高考Ⅱ卷6)某物理量的測量結果服從正態分布N(10，σ2)，下列結論中不正確的是( ).

A.σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大

B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等

解析

對于A，σ2為數據的方差，所以σ越小，數據在μ＝10附近越集中，所以測量結果落在(9.9，10.1)內的概率越大，故A正確;

對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5，故B正確;

對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確;

對于D，因為該物理量在一次測量中結果落在(9.9，10.0)的概率與落在(10.2，10.3)的概率不同，所以在一次測量中結果落在(9.9，10.2)的概率與落在(10，10.3)的概率不同，故D錯誤.

綜上，選D.

點評

本題利用正態分布密度曲線的特征逐項判斷求解，很好地體現了數形結合思想的運用.

4 化歸轉化思想

例5運用計算機編程，設計一個將輸入的正整數k“歸零”的程序如下:按下回車鍵，等可能地將[0，k)中的任意一個整數替換k的值并輸出k的值，反復按回車鍵執行以上操作直到輸出k＝0后終止操作.

(1)若輸入的初始值k為3，記按回車鍵的次數為ξ，求ξ的概率分布與數學期望;

(2)設輸入的初始值為k(k∈N*)，求運行“歸零”程序中輸出n(0≤n≤k－1)的概率.

解析

則ξ的概率分布如表1所示.

表1

(2)設運行“歸零”程序中輸出n(0≤n≤k－1)的概率為Pn，則

故當0≤n≤k－2時，

所以PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…

點評

先理解“歸零”程序，運行該程序得到輸出n(0≤n≤k－1)的概率Pn的關系式，然后遞推得到Pn＋1的關系式，再通過作差、相乘等方法進行變形轉化，最終求得Pn.本題抽象程度較高，解答本題需要有較強的閱讀理解能力和變形轉化能力.