品高考真題 察命題趨勢(shì)
——高考中的二項(xiàng)式定理

顏亞新 張 琥

(1.江蘇蘇州吳江中學(xué) 2.北京外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬蘇州灣外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)

研究高考真題就如同和命題人對(duì)話(huà)，真題是備考必不可少的參考資料，當(dāng)我們真正把這些試題研究通透，臨考時(shí)對(duì)試卷就不會(huì)有陌生感，并會(huì)觸類(lèi)旁通.

從近幾年的高考試題來(lái)看，二項(xiàng)式定理是高考常考內(nèi)容，且都是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，側(cè)重考查二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識(shí)和學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查內(nèi)容主要是求二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)和二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)等基礎(chǔ)問(wèn)題.

1 核心知識(shí)概覽

1.1 二項(xiàng)式定理及有關(guān)概念

2)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式:Tr＋1＝，它表示展開(kāi)式中的第r＋1項(xiàng).

1.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1)對(duì)稱(chēng)性:在二項(xiàng)展開(kāi)式中與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即

3)最大值:

a)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為-;

b)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，最大值為

4)二項(xiàng)式系數(shù)的和:二項(xiàng)式(a＋b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，即奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即

2 高考是怎么考的?

2.1 求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)

對(duì)于求特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是要能靈活運(yùn)用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，且要與排列組合知識(shí)結(jié)合起來(lái)，解題時(shí)要細(xì)心運(yùn)算.

例1(2021年北京卷11)(x3－的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.

解析

(x3－展開(kāi)式的通項(xiàng)為

令12－4r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為

例2(2021年天津卷11)在的展開(kāi)式中，x6的 系數(shù)是_________(用____數(shù)字作答).

解析

(2x3＋)6展開(kāi)式的第r＋1項(xiàng)為

令18－4r＝6，得r＝3，所以

所以x6的系數(shù)是160.

例3(2020年全國(guó)Ⅲ卷理14)(x2＋)6的展

開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).

解析

令12－3r＝0，得r＝4，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是×24＝15×16＝240.

點(diǎn)評(píng)

求形如(a＋b)n(n∈N*)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或與其相關(guān)的量:第一步，利用二項(xiàng)式定理寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝，通常把字母和系數(shù)分開(kāi)(注意“±”號(hào)不要寫(xiě)錯(cuò));第二步，根據(jù)題設(shè)條件(如常數(shù)項(xiàng)要求指數(shù)為零，有理項(xiàng)要求指數(shù)為整數(shù)等)先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，再求出r的值;第三步，把r的值代入通項(xiàng)中，即可求出Tr＋1＝，有時(shí)還需要先求n，再求r，最后求出Tr＋1＝或其他量.

例4(2020年全國(guó)Ⅰ卷理8)

的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為( ).

A.5 B.10 C.15 D.20

解析

因?yàn)?x＋y)5展 開(kāi) 式 的 通 項(xiàng) 為T(mén)r＋1＝

的每一項(xiàng)與(x＋y)5展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為

和

在xTr＋1＝中，令r＝3，可 得xT4＝，該 項(xiàng) 中x3y3的 系 數(shù) 為10.在中，令r＝1，可得，該項(xiàng)中x3y3的系數(shù)為5，所以x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.故選C.

例5(2019年全國(guó)Ⅲ卷理4)(1＋2x2)(1＋x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為( ).

A.12 B.16 C.20 D.24

解析

(1＋x)4展開(kāi)式中的第r＋1項(xiàng)為T(mén)r＋1＝得T2＝C14x＝4x，所以(1＋2x2)(1＋x)4的展開(kāi)式中x3的項(xiàng)是1×4x3＋2x2×4x＝12x3，即x3的系數(shù)是12，故選A.

點(diǎn)評(píng)

求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或其相關(guān)的量:第一步，利用二項(xiàng)式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開(kāi)，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式;第二步，根據(jù)特定項(xiàng)的次數(shù)，分析特定項(xiàng)是由(a＋b)m與(c＋d)n的展開(kāi)式中哪些項(xiàng)相乘得到的;第三步，把相乘后得到的項(xiàng)合并，即得所求特定項(xiàng)或相關(guān)量.

2.2 求三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)

例6(2015年全國(guó)Ⅰ卷理10)(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為( ).

A.10 B.20 C.30 D.60

解析

在(x2＋x＋y)5的5個(gè)因式中，2個(gè)因式中取x2，剩余的3個(gè)因式中，1個(gè)取x，其余因式取y，故x5y2的系數(shù)為＝30.故選C.

例7三項(xiàng)式(x2＋3x＋2)5的展開(kāi)式中，含x的一次項(xiàng)的系數(shù)是_________.

解析

方法1(x2＋3x＋2)5＝[(x2＋2)＋3x]5，

其展開(kāi)式 的 第r＋1項(xiàng) 為T(mén)r＋1＝Cr5(x2＋2)5－r(3x)r，又(x2＋2)5－r的 第k＋1項(xiàng) 為T(mén)k＋1＝Ck5－r(x2)5－r－k2k，所以

由題意，得10－r－2k＝1，即r＝9－2k，又0≤r≤5，0≤k≤5－r，r∈N*，k∈N*，所以r＝1，k＝故(x2＋3x＋2)5的展開(kāi)式中，含x的一次項(xiàng)的系數(shù)是240.

方法2因 為(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5·展開(kāi)式中含x的一次項(xiàng)為展開(kāi)式中含x的一次項(xiàng)的系數(shù)是240.

點(diǎn)評(píng)

求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或其相關(guān)的量:如果可以因式分解，則將三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式之積的形式，就可以用2.1的方法求解.如果不能進(jìn)行因式分解，可將三項(xiàng)式分成兩組，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再把其中含兩項(xiàng)的一組展開(kāi)，具體步驟:第一步，把三項(xiàng)的和a＋b＋c看成a＋b與c兩項(xiàng)的和;第二步，根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出[(a＋b)＋c]n展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝Crn(a＋b)n－rcr;第三步，對(duì)特定項(xiàng)的次數(shù)進(jìn)行分析，弄清楚特定項(xiàng)是由(a＋b)n－r展開(kāi)式中哪些項(xiàng)與cr相乘得到的;第四步，把相乘后得到的項(xiàng)合并，即得所求特定項(xiàng)或相關(guān)量.此外，還可以用組合知識(shí)，把三項(xiàng)式(a＋b＋c)n(n∈N*)看成n個(gè)a＋b＋c的積，然后利用組合知識(shí)求解.

2.3 二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)

區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是解此類(lèi)題的關(guān)鍵.二項(xiàng)式系數(shù)是固定的，僅與展開(kāi)式的通項(xiàng)有關(guān)，而二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)包含二項(xiàng)式系數(shù)，還有“±”號(hào)等，特殊情況下，二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是相等的.

例8(2021年浙江卷13)已知多項(xiàng)式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1＝

解析

方法1由題意知，a1就是展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)，所以a1＝C03(－1)0＋C14＝5.令x＝1，則有1＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－1)3＋(1＋1)4＝16，所以a2＋a3＋a4＝16－5－1＝10.

方法2由楊輝三角可知(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，(x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，所以由(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，得a1＝1＋4＝5，a2＝－3＋6＝3，a3＝3＋4＝7，a4＝－1＋1＝0，故a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.

例9已知二項(xiàng)式(x＋a)5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為80，則a＝.

解析

設(shè)二項(xiàng)式(x＋a)5展開(kāi)式中的第r＋1項(xiàng)為T(mén)r＋1＝，由已知得5－r＝2，則r＝3，所以＝80，解得a＝2.

點(diǎn)評(píng)

對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可;對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.同樣，求系數(shù)之差時(shí)，只需根據(jù)題設(shè)，令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.具體賦值方法，要根據(jù)所求和式或差式的特征找規(guī)律進(jìn)行賦值.

2.4 與二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題

例10已知(1＋x)n的展開(kāi)式中，只有x3的系數(shù)最大，則(1＋x)n的系數(shù)和為_(kāi)_______.

解析

例11(2013年全國(guó)Ⅰ卷理9)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

解析

點(diǎn)評(píng)

求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)的最值問(wèn)題，首先要弄清楚所求的是“展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最大值”還是“二項(xiàng)式系數(shù)最大值”.若是求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則根據(jù)(a＋b)n中n的奇偶性及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解;若是求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，A3，…，Ak＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大.在系數(shù)均為正值的前提下，求展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，只需解不等式組即可.

3 今后還可能考什么?

通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的分析與研究，我們不難看出，高考中主要考查二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，沒(méi)有難題.因?yàn)槎?xiàng)式定理的應(yīng)用比較廣泛，今后的高考中除了出現(xiàn)上述列舉的常考題型之外，還會(huì)用以下形式來(lái)考查二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識(shí).

3.1 二項(xiàng)式定理的逆用

例12

解析

3.2 整除性問(wèn)題和求余數(shù)問(wèn)題

例13求證:32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.

證明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝

因?yàn)樯鲜街械母黜?xiàng)都含有82，所以32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.

例149192除以100的余數(shù)為_(kāi)________;0.9985精確到0.001的近似值為_(kāi)_______.

解析

9192＝(90＋1)92＝，前91項(xiàng)均能被100整除，只有末尾兩項(xiàng)不能被100整除，8281＝8200＋81，所以9192除以100的余數(shù)為81.

3.3 證明不等式

例15當(dāng)n∈N*時(shí)，求證

證明，又因?yàn)?/p>

4 我們備考練什么?

練習(xí)1在()n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.

解析

練習(xí)2已知(2＋mx)(1＋x)3的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為5，則m＝_________.

解析

依題意可知，展開(kāi)式中x3的項(xiàng)為，所以2＋3m＝5，解得m＝1.

練習(xí)3已知(1＋2x)n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是_______;系數(shù)最大的項(xiàng)是_________.

解析

因?yàn)門(mén)6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，由題意得，解得n＝8，所以(1＋2x)8的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T5＝C48(2x)4＝1120x4.

設(shè)(1＋2x)8展開(kāi)式第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，則

解得5≤r≤6.

又因?yàn)?≤r≤8，且r∈N，所以r＝5或6，所以(1＋2x)8展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T6＝C58(2x)5＝1792x5或T7＝C68(2x)6＝1792x6.

練習(xí)4若n∈Z，且3≤n≤6，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.

解析

練習(xí)5已知f(x)＝(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值為_(kāi)_______.

解析

因?yàn)閒(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25，所以

故(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝24×(－24)＝－28.