滾珠絲杠垂直升降系統的建模和振動特性分析*

黃 晉 盧文婷 陳嘉榮 薛珺天

(①中國電子科技集團公司第二研究所，山西 太原030024；②太原師范學院物理系，山西 太原 030002)

滾珠絲杠副由于定位精度高，工作可靠，且可將伺服電動機的旋轉運動轉化為工作臺的直線運動，因而作為機械傳動部件廣泛應用于各個領域的自動化設備中。其中的升降機構將滾珠絲杠副垂直安裝，旋轉運動轉化為工作臺的上下直線運動。目前，滾珠絲杠垂直升降系統沒有明確的數學模型，系統的設計開發過程均依靠經驗進行。但是由于伺服的激勵，傳動部件會產生振動，如果中間環節選型不合理，還會有共振的危險，嚴重影響滾珠絲杠副的使用壽命、噪聲、溫升、傳動效率以及工作臺的定位精度[1]。因此，建立滾珠絲杠垂直升降系統的數學模型并進行振動特性分析，指導系統設計過程和結構優化，對系統減振降噪和提升產品整體性能有重要意義。

已有眾多國內外學者對滾珠絲杠傳動系統進行了動力學建模與分析。向紅標等人建立了某測量機Z軸滾珠絲杠進給系統的動力學模型[2]，吳沁等人利用拉格朗日方程和能量原理建立了數控機床進給系統的數學模型，分析了各參數對工作臺振動位移的影響[3]， Frey S等分析了不同負載、工作臺位置和絲杠螺距對進給系統混合模型和離散模型固有頻率的影響[4]，但是都存在模型簡化程度大，沒有考慮系統的初始條件等問題。集中參數模型能夠估計滾珠絲杠進給驅動系統的軸向及扭轉的低階振動，但無法準確表征絲桿的柔性體特征[5-7]。Vicente D等人采用Ritz級數法表示絲杠軸向及扭轉位移場的空間依賴性[8]。董亮等人將絲杠作為分布參數模型，其余部件作為集中參數模型，應用功率平衡法和Ritz級數法，建立了滾珠絲杠進給系統的振動模型[9]，但是都沒有對系統的動態響應進行分析。

針對以上問題，本文以某上下料自動化設備中的升降機構為研究對象，建立系統的動力學模型，仿真分析了系統的模態振型、固有頻率以及動態響應。結果表明所建立的數學模型可以對滾珠絲杠垂直升降系統的選型設計和后期結構改進設計提供理論依據。

1 數學模型

1.1 拉格朗日方程

滾珠絲杠垂直升降系統的物理模型如圖1所示，伺服電機通過聯軸器帶動絲杠轉動，絲杠通過固定座安裝在機架上，絲杠另一端利用深溝球軸承支持，這種固定-支持的安裝方式能夠抵消由熱變形產生的應力，常被應用于精密滾珠絲杠驅動系統中[9]。

垂直升降系統的力學模型如圖2所示。Jm為伺服電機轉子轉動慣量，忽略滾動軸承在扭轉方向上的剛度和阻尼。Jc、Kc、Cc分別為聯軸器的轉動慣量、扭轉剛度和扭轉阻尼。Kb、Cb、Kn、Cn分別為固定座和絲杠螺母的軸向剛度和軸向阻尼。mt為負載質量，同時考慮負載總重量G2和負載與絲杠的總重量G1。E、ρ、A、G、I分別表示滾珠絲杠的楊氏模量、密度、橫截面積、截切模量和極慣性矩。l表示絲杠的長度，γ表示絲杠的導程，κ表示絲杠的阻尼損耗因子。

第一類拉格朗日方程為：

(1)

(2)

由圖2可知，系統動能T包括工作臺、電機轉子、聯軸器和絲杠的動能：

(3)

其中：“·”表示對時間t的導數;ut(t)表示工作臺的位移;θm(t)表示電機轉子的轉角;u(x,t)和θ(x,t)分別表示絲杠的軸向位移函數和扭轉位移函數;x是絲杠螺母的位移變量;xt是絲杠螺母的當前位置。絲杠螺母將絲杠的軸向和扭轉振動耦合[10]，螺母的軸向位移δn可以表示為：

(4)

系統勢能V包括聯軸器、絲杠螺母、固定座和絲杠變形的彈性勢能：

(5)

由于系統存在阻尼損耗，則耗散能R可表示為：

(6)

絲杠作為連續體，可以用位移函數u(x,t) 和θ(x,t)來描述絲杠的變形，Ritz級數方法通過Ritz級數展開能夠描述位移函數[10]：

(7)

(8)

其中φu(x)和φθ(x)是位移函數的基函數，系數qu(t)和qθ(t)表示基函數在某一瞬時的分量。基函數必須滿足確定的條件以獲得有效的Ritz級數展開，同時必須滿足連續性、線性獨立和幾何邊界條件[10]。基于以上分析，基函數可表示為：

φu(x)=cos(ju-1)πx/l

(9)

φθ(x)=cos(jθ-1)πx/l

(10)

其中:ju=1,2,…,Nu;jθ=1,2,…,Nθ。

取系統的廣義坐標為θm(t)、ut(t)、qθ(t)、qu(t)，則廣義坐標矩陣表示如下：

(11)

將式(7)和(8)代入式(3)～(6)中，令：

得到系統的動能、勢能和耗散能函數分別為：

(13)

(14)

(15)

由矩陣理論可推導出以下2個結論：

(1)設f=AX，其中f為標量，A為常量矩陣，X為未知矩陣，則有：

(16)

(2)設f=XTAX，其中f為標量，A為常量矩陣，X為未知矩陣，則有：

(17)

基于式(16)和式(17)的結論，將式(13)～(15)代入式(2)得到系統的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和廣義激振力矩陣如下：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

1.2 固有特性分析

無阻尼系統的特征方程為：

(23)

1.3 動態響應計算

由于模態疊加法相比于其他動力學分析方法具有高效、計算速度快的優點，動態響應分析采用了模態疊加法，通過在模態分析中獲得的固有頻率與振型來描述結構的動態響應。

將物理坐標q轉換為模態坐標qp：

q=Apqp

(24)

(25)

令：

(26)

得到坐標變換后的系統動力學方程：

(27)

其中：質量矩陣Mp為對角矩陣；阻尼矩陣Cp不是對角矩陣，可通過降階法求解系統微分方程，得到qp后代入式(24)可得到系統廣義坐標q的時變特性。

2 案例仿真分析

以某上下料自動化設備中的升降機構為研究對象，對滾珠絲杠垂直升降系統進行模態分析和動力學分析，升降機構的三維模型和工程現場應用如圖3所示。伺服電機和絲杠使用標準品，其他結構為自行設計。相關參數從產品目錄和說明書中獲取，具體參數見表1。

表1 系統主要參數

2.1 模態分析

將相關參數代入式(23)，求解(23)式可得系統的固有頻率和模態振型，表2列出了xt在0.5 m處時，Ritz級數長度Nu和Nθ取不同值時第一階固有頻率的數值仿真結果：

表2 固有頻率隨級數長度的變化

由于基函數的個數是任意的，且通過多個基函數的疊加，可以得到基頻的近似值[11]，由表2可知Nu和Nθ取不同值時基頻不變，所以取Nu=Nθ=2進行系統的模態分析。

表3為工作臺在不同位置下，系統第一階到第三階的固有頻率。固有頻率隨工作臺位置和負載質量的連續變化趨勢如圖4所示，第一階固有頻率受負載質量影響較大，負載質量越大，系統第一階固有頻率越小。機械系統的第一階固有頻率是決定系統頻率響應帶寬的的一個重要約束因素，在設計一個伺服控制系統時，通常要求機械系統的第一階固有頻率是系統帶寬的5倍以上。圖4和表3表明可以通過選擇不同的結構參數獲得合理的系統固有頻率，預防共振的發生。

表3 固有頻率隨工作臺位置的變化

表4列出了絲杠導程和螺母剛度對系統前三階固有頻率的影響，可以看出，在無預壓的條件下，第一階和第三階固有頻率隨導程的增大而增大，而第二階固有頻率是和絲杠螺母的剛度成正相關。導程不變，增加預壓，固有頻率也增大，并且第一階固有頻率受影響較大。結果表明增大導程，增加預壓可以提高機械系統的第一階固有頻率，增大傳動系統的剛度和傳動精度。

表4 固有頻率隨絲杠導程的變化

圖5為絲杠的軸向振型曲線，圖6為絲杠的扭轉振型曲線。由圖可知系統第一階和第三階振動主要是扭轉振動，伴隨較小的軸向振動，第二階振動是絲杠的軸向和扭轉耦合振動。由第一階和第二階扭轉振型可知工作臺越是遠離電機端，絲杠的扭轉振動越大。

由第一階軸向振型可知工作臺越是遠離電機端，絲杠軸向振動越大。

從振型曲線可以知道某個自然共振頻率下結構的變形趨勢，若要加強結構的剛性，可以從這些較弱的部分加強。圖5和圖6表明最低頻的模態主要是工作臺在遠離電機端的位置時絲杠的扭轉方向，這是系統的薄弱位置，那么在后續升降系統的設計中應該將這一薄弱環節對傳動系統的性能影響考慮其中。

2.2 動態響應分析

根據式(24)和式(27)編制MATLAB仿真程序，仿真時間100 ms，步長2 ms，得到工作臺的位移響應以及各參數的影響。

滾珠絲杠和絲杠螺母結合處的軸向剛度和滾珠絲杠的預壓等級有關，過大的預壓力將造成摩擦扭矩增大及溫升效應，壽命減短，但太低的預壓力會使得滾珠絲杠剛性不足及增加失步的可能性。查閱滾珠絲杠技術資料可知，軸徑為20 mm的滾珠絲杠，在無預壓的情況下，導程為10 mm時剛性最大，5 mm導程次之，20 mm導程的剛性最小。

圖7中，設定絲杠的導程為20 mm，增加絲杠螺母的預壓，絲杠螺母軸向剛度增大，工作臺的振動幅度減小，恢復平衡位置的時間從0.08 s減小到0.02 s。圖8中，設定絲杠導程為10 mm，且無預壓，5 mm和20 mm導程時增加預壓使剛度相同，且20 mm導程時需要增加更大的預壓，圖8說明增加更大的預壓后工作臺的振動幅度更小。圖7中實線為20 mm導程且無預壓，圖8中虛線為10 mm導程且無預壓，比較可知20 mm導程時的工作臺振幅更大且恢復平衡時間由0.06 s增大到0.1 s。圖7和圖8比較說明無預壓狀態下，絲杠導程越大，負載振幅越大，恢復平衡時間也越長。

圖9說明工作臺位于絲杠中間位置的時候振動幅度最小，位于絲杠兩端時的振動幅度較大。圖10說明工作臺質量增大會使得振動幅度增大，但影響較小。圖7～圖10說明工作臺振動幅值隨絲杠螺母軸向剛度的增大而減小，隨絲杠導程的增大而增大。

圖11和圖12顯示了工作臺位于絲杠中間位置時，絲杠的軸向和扭轉振動情況，圖11說明在絲杠軸向的振動兩端較大，中間較小，圖12說明絲杠的扭轉振動是靠近電機端振動較小，遠離電機的位置振動幅度變大。絲杠軸向振動比扭轉振動更快的恢復到平衡位置。

工作臺的振動會影響傳動系統的定位精度，降低絲杠螺母副的使用壽命，因此，在設計過程中需要充分考慮系統的動態響應。

根據仿真結果，在設計升降機構時，同時考慮成本和需求，滾珠絲杠選擇20 mm直徑，10 mm導程，軸方向間隙預壓等級選擇P2，無間隙，輕預壓，選型設計后的升降機構實際運行較之前更加平穩。

3 結語

本文研究了伺服激勵下滾珠絲杠垂直升降系統的動態響應和影響因素，首先利用拉格朗日方法建立了系統的動力學方程，然后對系統進行了模態分析，最后通過模態疊加原理分析了不同參數對工作臺位移響應的影響。主要結論有：

(1)固有頻率隨導程和絲杠螺母軸向剛度的增大而增大，負載質量對第一階諧振模態有一定影響。

(2)系統模態振型分布表明第一階和第三階振動主要是絲杠的扭轉振動，第二階振動是絲杠的軸向振動和扭轉振動的耦合。

(3)由位移響應分析可知工作臺振動幅值隨絲杠螺母軸向剛度的增大而減小，隨絲杠導程的增大而增大。