一類群體平衡方程的尺度變換群分析及顯式精確解

林府標(biāo)，張千宏

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

0 引言

群體平衡方程是描述具有特殊特征的離散實(shí)體系統(tǒng)模型的連續(xù)型方程，這些實(shí)體包括粒子、晶體、乳劑、液滴、泡沫、種群等；同時(shí)包含純偏微分方程、積分方程、代數(shù)方程等，通常分別用粒子的種群密度分布函數(shù)、增長率或破損率表示種群平衡、粒子質(zhì)量。群體平衡方程應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，但鑒于在實(shí)際工程領(lǐng)域中缺乏解析解，其研究途徑幾乎只能借助于數(shù)值技術(shù)［1-4］。粒子可用尺寸、形狀、液體和氣體的空隙、成分、年齡、質(zhì)量和體積等表征，其尺寸、質(zhì)量、體積是研究粒子密度分布基本的內(nèi)部變量坐標(biāo)［1-4］。礦石或其他固體材料的破碎、粉碎、尺寸減縮等是粒子的破損過程；細(xì)菌種群的繁殖、生長、死亡、分裂等為粒子的生長過程。在描述化學(xué)過程、微粒系統(tǒng)時(shí)，可將既有生長過程又有破損過程的連續(xù)型群體平衡方程［3］寫為

其中，t表示時(shí)間；x表示粒子的尺寸（質(zhì)量、體積），f(x，t)表示尺寸（質(zhì)量、體積）為x的粒子在t時(shí)刻的種群密度分布函數(shù)；G(x，t)表示尺寸（質(zhì)量、體積）為x的粒子在t時(shí)刻的增長率；v(x，t)表示尺寸（質(zhì)量、體積）為x的粒子的破損平均數(shù)；假設(shè)粒子的破損是相互獨(dú)立的，b(x，t)表示尺寸（質(zhì)量、體積）為x的粒子在t時(shí)刻的破損率，即單位時(shí)間內(nèi)正在破損的粒子數(shù)，一般情況下，破損率系數(shù)b(x，t)隨x的增大而增大，例 如，冪 函 數(shù) 型 破 損 率b(x，t)=kxγ，k＞0，γ＞0；p(x|y)表示尺寸（質(zhì)量、體積）為y的粒子分解或破損為尺寸（質(zhì)量、體積）為x的粒子的概率，與時(shí)間相互獨(dú)立，概率函數(shù)p(x|y)滿足規(guī)范性條件：

假設(shè)f(x，t)是積分-偏微分方程（1）的任意解，則該精確解滿足尺寸（質(zhì)量、體積）足夠大的粒子，相應(yīng)種群密度分布函數(shù)f(x，t)必然為零［1-3］，特別地，當(dāng)滿足性質(zhì)f(∞，t)=f(x→∞，t)=0時(shí)，正則性條件為G(∞，t)f(∞，t)=0，對應(yīng)的邊界條件和柯西問題的初始條件分別為

在工程應(yīng)用領(lǐng)域，常用平均數(shù)或總數(shù)研究粒子的行為分布及相關(guān)性質(zhì)。其中，總體平衡（TB）、零階矩M0(t)和一階矩M1(t)的定義分別為

其中，零階矩M0(t)表示單位體積粒子的平均質(zhì)量，一階矩M1(t)表示單位體積粒子的總質(zhì)量。

齊次增長率函數(shù)和破損率函數(shù)相對容易處理，即對任意的λ存在冪指數(shù)p≥0，γ≥0，使得增長率系 數(shù)G(x，t)和 破 損 率 系 數(shù)b(x，t)分 別 滿 足 齊 次方程

假設(shè)粒子破損的平均數(shù)是雙重的，增長率函數(shù)和破損率函數(shù)均不依賴于時(shí)間而僅取決于粒子的尺寸（質(zhì)量、體積），注意到假設(shè)條件概率函數(shù)與時(shí)間的相互獨(dú)立性和規(guī)范性，進(jìn)一步選取

于是，冪函數(shù)型增長率和破損率的群體平衡方程（1）在約束條件（2）下可簡化為

在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中，最大的困難不是如何建立一個(gè)實(shí)體微粒過程模型，而是除數(shù)值技術(shù)［1-4］外無其他精確求解滿足實(shí)際問題的群體平衡方程的途徑。因此，為精確描述、解釋、理解和應(yīng)用這些實(shí)體模型，探求滿足邊界條件和初值條件的精確解是有實(shí)際價(jià)值和意義的。

群體平衡方程的主要求解方法可粗略地分為數(shù)值方法和矩方法［1-4］。而經(jīng)典的李群分析法［5］無法直接用于求解積分-偏微分方程（1）。改進(jìn)的李群分析法［6-7］在許多交叉學(xué)科領(lǐng)域已有應(yīng)用，特別是已用于求解積分-偏微分方程、時(shí)滯微分方程和隨機(jī)微分方程［8-15］，其最大困難是求解積分-偏微分方程的決定方程，由于決定方程仍為積分-偏微分方程，其解法依賴于原積分-偏微分方程的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和特征等［8-15］。采用改進(jìn)的李群分析法求解式（3），最大困難是決定方程及其求解方法，因式（3）中，局部強(qiáng)非線性項(xiàng)為變下限積分類型。相反，采用尺度變換群分析法［6，8］因不需要求解復(fù)雜的積分-偏微分方程的決定方程，求解新的積分-偏微分方程的部分對稱、群不變解和顯式精確解常常是簡潔且行之有效的。

本文采用尺度變換群分析法、觀察法和試探函數(shù)法求式（3）的精確解。重點(diǎn)求滿足實(shí)際問題的有意義的真實(shí)顯式精確解，分析和探討這些顯式精確解所滿足的邊界條件和柯西問題的初始條件，以及解的動(dòng)力學(xué)特性，并能驗(yàn)證數(shù)值解的正確性和精度，為工程應(yīng)用領(lǐng)域提供理論參考，豐富群體平衡方程的理論內(nèi)容。

1 尺度變換群分析法

采用尺度變換群分析法［6，8］求式（3）所接受的李群，考慮尺度變換群

其中，a為群參數(shù)，及式（3）的相應(yīng)變換方程

由尺度變換群分析法的理論算法和式（4），可假設(shè)式（3）所接受的無窮小李對稱算子為

其中，λ1，λ2，μ均為實(shí)參數(shù)。為分析和研究式（4）如何將式（5）的解變換為式（3）的解f=f(x，t)，進(jìn)一步將式（4）的逆變換群改寫為

將式（4）和式（7）代入式（5），化簡得

注意到f(x，t)是式（3）的任意解，尺度變換群作用式（3）不變，由式（8），實(shí)參數(shù)λ1，λ2滿足的不變量約束條件為

由式（2）和式（9），得到增長率和破損率函數(shù)分別為

于是，式（3）變?yōu)?/p>

考慮單參數(shù)平移變換李群

其中，τ0為群實(shí)參數(shù)。類似于上述分析和計(jì)算，可證明平移變換李群Tτ0作用式（3）不變，因此，式（3）接受平移變換李群Tτ0，其對應(yīng)的無窮小李對稱平移算子為

鑒于實(shí)參數(shù)λ1，λ2，μ的任意性，結(jié)合式（9）和平移變換李群Tτ0以及無窮小算子式（6），得到式（10）所接受的無窮小李對稱算子為

定理1設(shè)由式（10）接受的所有無窮小李對稱算子構(gòu)成的李代數(shù)為L，則L3=span{X，Y，Z}構(gòu)成實(shí)數(shù)域上L的3維子李代數(shù)。

由文獻(xiàn)［16］，得到3維子李代數(shù)L3的換位子運(yùn)算結(jié)果，見表1。

表1 子李代數(shù)L3的換位子運(yùn)算結(jié)果Table 1 Commutator table of Lie subalgebra L3

由表1可得，內(nèi)自同構(gòu)

求解相應(yīng)的李方程，得

由內(nèi)自同構(gòu)Ai(i=1，2)對應(yīng)的李變換群和理論算法［6-7］，可得3維子李代數(shù)L3的最優(yōu)化系統(tǒng)，見表2，其中，α為任意實(shí)數(shù)。

表2 子李代數(shù)L3的最優(yōu)化系統(tǒng)Table 2 Optimal system of Lie subalgebra L3

2 群不變解和顯式精確解

情形1span{Y+αZ}，p≠1，α∈R。

無窮 小 李 對 稱 算 子Y+αZ，p≠1，α∈R的群不變量為由平移算子X，可假設(shè)式（10）的顯式精確解為

其中，函數(shù)φ(z)滿足約化積分-常微分方程

情形2span{Y+αZ}，p=1，α∈R。

無窮 小 李 對 稱 算 子Y+αZ，p=1，α∈R的群不變量為t，x-α f。于是，假設(shè)式（10）的顯式精確解為f(x，t)=xαφ(t)，α＜0，其中，函數(shù)φ(t)滿足約化可分離變量的常微分方程φ′=-βφ，其通解為φ(t)=cexp(-βt)。由平移算子X，可得式（10）的顯式精確解為

注意到當(dāng)x→∞時(shí)，此精確解滿足f(x，t)→0，即滿足條件f(∞，t)=0。在破損系數(shù)為常數(shù)的粒子系統(tǒng)中，當(dāng)線性增長的粒子尺寸（質(zhì)量、體積）足夠大時(shí)，種群密度分布函數(shù)f(x，t)必然為零。邊界條件和柯西問題的初始條件分別為

情形3

用試探函數(shù)法，可得式（13）的顯式精確解

結(jié)合平移算子X和式（12），得式（10）的顯式精確解

若p＞1，當(dāng)粒子尺寸x→∞時(shí)，精確解滿足f(x，t)→0，即滿足條件f(∞，t)=0。表明既存在增長又存在破損的粒子過程，當(dāng)粒子尺寸（質(zhì)量、體積）足夠大時(shí)，種群密度分布函數(shù)f(x，t)必然為零。當(dāng)系統(tǒng)中無粒子時(shí)，增長率滿足G(0，t)=0。顯式精確解f(x，t)對應(yīng)的邊界條件、柯西問題的初始條件、總體平衡（TB）分別為

在破損過程中，粒子的平均質(zhì)量和總質(zhì)量依賴參數(shù)n，p的選取和零階矩M0(t)及一階矩M1(t)。若p=2，則零階矩M0(t)和一階矩M1(t)分別為

為行文簡潔，以下情形不再討論和分析精確解所對應(yīng)的邊界條件和初值條件以及零階矩M0(t)和一階矩M1(t)。

情形4n＞1，p≠1，α=n(1-p)，

用試探函數(shù)法，可得式（13）的顯式精確解為

由式（12）和平移算子X，得式（10）的顯式精確解為

情形5p=3，k=6g。

用試探函數(shù)法，可得式（13）的顯式精確解為

由平移算子X和式（12），得式（10）的顯式精確解為

情形6

類似地，用試探函數(shù)法探究式（13）的顯式精確解，由式（12）和平移算子X，可得式（10）的顯式精確解為

函數(shù)φ(z)為式（13）的解。

情形7G(x，t)=gxp，b(x，t)=kxp-1。

用觀察法和試探函數(shù)法，得式（10）的顯式精確解為

情形8

用試探函數(shù)法，得式（13）的顯式精確解為

由式（12）和平移算子X，得式（10）的顯式精確解為

情形9span{X+Z}。

無窮小李對稱算子X+Z的群不變量為x，exp(-t)f。由平移算子X，可假設(shè)式（10）的顯式精確解為

其中，函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程：

情形10span{X-Z}。

無窮小李對稱算子X-Z的群不變量為x，exp(t)f。由平移算子X，可假設(shè)式（10）的顯式精確解為

其中，函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程：

情形11span{X}。

無窮小李對稱算子X的群不變量為x，f，可假設(shè)式（10）的顯式精確解為

其中，函數(shù)φ(x)滿足約化積分-常微分方程：

3 結(jié)論

將尺度變換群分析法成功地應(yīng)用于帶有變下限強(qiáng)非線性積分項(xiàng)的群體平衡方程。結(jié)合觀察法和試探函數(shù)法，得到了存在齊次增長率和破損率的群體平衡方程的部分對稱、群不變解和顯式精確解。分析了部分顯式精確解對應(yīng)的邊界條件、柯西問題的初值條件以及零階矩和一階矩。所得顯式精確解可驗(yàn)證數(shù)值解的正確性和精確度。