具有時變系數和吸收項的非線性非局部反應擴散系統解的爆破

歐陽柏平

（廣州華商學院數據科學學院，廣東 廣州 511300）

0 引言

近年來，已有很多研究針對局部和非局部拋物方程和拋物系統解的全局存在性和爆破問題。一般而言，解的全局存在性和爆破取決于方程的非線性、空間維數、初始數據以及邊界條件。文獻［1-6］考慮了三維空間中解在齊次邊界條件（Dirichlet條件和Neumann條件）和Robin邊界下的全局存在性和爆破問題。文獻［7-17］研究了高維空間中解在非線性邊界條件下的全局存在性和爆破問題。文獻［18-25］對具有時變或空變系數的局部和非局部拋物方程和拋物系統解的全局性和爆破進行了研究。文獻［26-28］考慮了其他偏微分方程解的爆破問題。從某種程度上，非局部的數學模型比局部的數學模型更具實際應用價值，因而探討非局部的拋物方程和拋物系統解的全局存在性和爆破有較強的理論價值和實際意義。由于局部數學模型的理論和數學方法不適用于非局部數學模型，因此對于非局部數學模型的研究有較大的挑戰。目前，關于爆破發生時解的爆破時間上下界估計的研究，考慮上界的方法較多，而考慮下界的較少。

文獻［17］研究了具有時變系數的反應擴散系統爆破問題：

在齊次Dirichlet邊界條件下，得到解在有限時間內爆破的條件。同時推出了解的爆破時間上界估計和在二維和三維空間中解的爆破時間下界估計。

文獻［19］研究了具有時變系數的局部反應擴散系統爆破問題：

在齊次Dirichlet邊界條件下，得到解的爆破條件以及在2種測度下解在高維空間中爆破時間下界估計。

文獻［25］研究了具有空變系數的非局部反應擴散系統爆破問題：

其中，a(x)和b(x)是光滑有界正函數。采用微分不等式方法，得到全空間中解的爆破時間下界估計。

文獻［17］研究了具有吸收項的半線性拋物問題：

在齊次Neumann邊界條件下，采用微分不等式方法和某些假設條件，得到解的全局存在性和爆破時間上界估計以及三維空間中爆破發生時解的爆破時間下界估計。

受以上文獻啟發，本文研究非線性邊界條件下具有時變系數和吸收項的非線性非局部反應擴散系統解的全局存在性和爆破問題：

其中，Ω是高維空間Rn(n≥3)中的有界凸區域，Δ表示拉普拉斯算子。?Ω是區域Ω的邊界，t*表示可能的爆破時間。分別是u、v在邊界?Ω上的外法向量的導數，假設其足夠光滑。

目前，尚未發現關于式（1）的解的全局存在性和爆破問題的文獻研究。其困難在于如何處理高維空間、非局部項、吸收項以及非線性邊界條件對解的全局存在性和爆破影響。采用高維空間中的Sobolev嵌入不等式以及相關的微分不等式方法，得到高維空間中非線性邊界條件下解的全局存在性和爆破發生時解的爆破時間的下界估計。

1 全局存在性

引理1［16］設Ω是Rn(n≥3)上的有界凸區域，則對于u∈C1(Ω)，s＞0，有

其中，

引理2［29］Sobolev不等式：

其中，C=C(n，Ω)是 與n和Ω有 關的Sobolev嵌入常數。

定理1假設

則在任何有限時間式（1）的解均有界，即式（1）是全局存在的。

證明首先，定義輔助函數：

其中，σ＞1。

運用散度定理，對式（6）求導數，結合式（5），得

其中，l=min{l1，l2}。

對于式（7）右邊第2項，由散度定理和式（2），有

對于式（8）右邊第2項，由H?lder不等式和Young不等式，得

其中，ε1為正數。于是，由式（8）和式（9），得到

對于式（7）右邊第5項，重復式（8）～式（10）的推導，可得

對于式（7）右邊第3項，由H?lder不等式和Young不等式，有

同樣，對于式（7）右邊第6項，由H?lder不等式和Young不等式，有

選取合適的ε1，ε2，使得r3≤0，λ3≤0，于是，式（14）可化為

由H?lder不等式和Young不等式，得

其中，ε3，ε4，ε5，ε6，ε，ε為正數。聯立式（15）～式（23），有

其中，

由H?lder不等式，可知

聯立式（24）～式（26），得

選 取 合 適 的ε3，ε4，ε5，ε6，ε，ε，使 得σ-r5＞0，σ-λ5＞0。

設K1=min{σ-r5，σ-λ5}，

由式（27），可得

其中，C為正常數。

式（28）表明，u在φ(t)測度下對于任意的t(t＞0)都不會爆破。事實上，如果在某個時間t*爆破，即

由式（28），對任意的t∈[t0，t*)，有φ′(t)≤0，從而φ(t)≤φ(t0)。當t→(t*)-時，取極限，有

矛盾。定理1得證。

2 解的爆破時間的下界

假設

構造輔助函數：

定理2假設u(x，t)，v(x，t)是式（1）、式（29）在有界凸區域Ω的經典非負解，則式（30）中定義的能量滿足：

因此，爆破時間t*的下界為

Θ-1是Θ的反函數。

證明運用散度定理，對式（30）求導數，由式（29），得

其中，a=max{a1，a2}。于是，由式（8）和式（9），得

同理，可得

對于式（31）右邊第3項，由H?lder不等式和Young不等式，有

同樣，對于式（31）右邊第6項，由H?lder不等式和Young不等式，有

由H?lder不等式，可得

由式（16）、式（20）、式（36）～（38），可得

由H?lder不等式和式（3），有

類似于式（41）的推導，由H?lder不等式、式（3）～式（4），可得

其中，

ε10，ε11，ε12為常數。聯立式（40）～式（44），得

其中，

選取合適的ε1，ε2，ε9，ε10，ε11，ε12，使得K3≤0，K4≤0。于是，式（45）可化為

其中，K(t)=1+K5(t)+K6(t)。對式（46）從0到t*積分，有

因為ξi＞1(i=1，2)，所以式（47）右邊積分存在。易知，Θ(t*)是單調遞增函數，于是有

其中，Θ-1是Θ的反函數。

定理2得證。