圓弧形沉積谷地在平面SV波入射下地震響應的有限元分析

蔡曼琳，丁海平，2，于彥彥

（1.蘇州科技大學江蘇省結構工程重點實驗室，江蘇蘇州 215011；2.中國地震局工程力學研究所，哈爾濱150080）

引言

地形對地震動的影響研究主要有兩種方法：一種是利用場地觀測臺站的地震記錄；另一種是理論分析方法，常用的有解析法和數值法。解析法主要指的是波函數展開法［1－4］，考慮的地形幾何形狀和介質的材料特性相對比較簡單，其結果可以用于檢驗數值法的計算精度。而數值法的種類較多，文獻［5］把數值法歸納為3 類：域方法，包括有限差分法、有限元法和譜單元法［6－11］；邊界元方法［12－14］；將幾種數值方法相結合的聯合方法［15－16］。沉積谷地（盆地）作為最常見的地形之一，是人類生活和工作的主要區域，研究其對地震波的傳播影響很重要。對于復雜的地形和地質條件的場地，解析法受到一定的限制。隨著計算機的發展和大型有限元軟件的出現，有限元數值法已成為一種更方便和更有效的手段。采用有限元方法分析場地效應時，需要用人工邊界把半空間問題限制在一個有限的區域內解決。目前的大型有限元軟件大多沒有設置人工邊界，但可以采用基于粘性邊界或粘-彈性邊界的等效荷載輸入方法實現［17－20］，由于在滿足這些邊界條件時存在參數選擇問題，其精度受到一定限制。在眾多的人工邊界中，多次透射公式（MTF）是一種易于實現且精度較高的局部人工邊界條件［21］。本文將利用Ansys 有限元軟件結合MTF 的計算工具，分析圓弧形沉積谷地對入射SV 波放大特征。由于場地地表地震動峰值的分布受不同地震波輸入的影響，如文獻［22］發現：同一個場地模型在不同的地震波入射下，地表的地震動峰值分布呈現顯著的差異性；文獻［23］也指出：不同地震波作用下，地震動峰值放大系數的影響程度和范圍有區別，因此，本文將進行頻域結果分析，避免受不同輸入地震波的影響［24］。

1 計算方法

如圖1所示由人工邊界和地表包圍的區域結構-地基系統，運動方程為：

圖1 結構-地基系統動力反應分析示意圖Fig.1 Schematic diagram of dynamic response analysis of structure-foundation system

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；P為外力矢量。

在地震波作用下，本文所討論的波動問題有2 個問題需要解決好：一是邊界問題；二是地震波的輸入問題，且這2個問題是相關聯的。

（1）人工邊界

本文的人工邊界采用的是多次透射公式（Multi-Transmitting Formula，簡記為“MTF”）［21］。設某一入射波以人工波速ca沿x軸從左側射向人工邊界點0（圖2），記點j在p時刻的位移表達式為=u(pΔt,jΔx)，j和p為整數，Δt為時間步距，Δx為空間步距，若Δt=Δx/ca，則可直接用與人工邊界垂直方向上的內部節點的位移確定：

圖2 人工邊界附近節點編號，一維波動模型圖Fig.2 Node number near artificial boundary，one-dimensional wave model

式中：

由于MTF模擬的是外行波，即散射波us，其表達式為：

式中：us散射波位移；u為全波場位移；ur為參考波場的位移（對底邊界，參考波場可直接取輸入場，對側邊界，則通常取為自由場。令多次透射公式（2）中u=us，將式（4）代入式（2）中，則：

（2）地震波的輸入

假定輸入地震波為位移，則輸入面為人工邊界節點所在位置，人工邊界點的全波場位移為：

式中：下標i表示內節點（包括自由表面節點）；b表示邊界節點。對于散射問題，方程（7）的右邊荷載項為0，方程（7）就變成已知邊界點ub的位移求解內節點位移問題。對于波源問題，方程（7）的右邊pb為0，方程（7）就變成已知邊界點ub的位移和pi求解內節點位移問題。只要選擇一種合適的數值積分格式，兩種情形都很容易對方程（7）進行求解。

（3）有限元數值模擬的網格尺寸要求

解析方法給出的場地地震響應一般是基于無量綱頻率的譜比（或稱譜放大系數），其中無量綱頻率定義為：

式中：a為沉積谷地地形半寬；λs為土層介質中剪切波波長；cs為土層剪切波速；ω為圓頻率。參數η表示沉積谷地寬度與土層介質中剪切波波長之比，η值越大，其入射波波長越小，對應的頻率f越高。

進行有限元數值模擬時，網格尺寸一般需要滿足在一個有意義的波長內包含有10 個單元網格，如下列關系式：

式中：λ表示為入射波的波長；Cs表示為沉積介質中的剪切波速；T表示為入射波的周期；fcut表示為入射波的截止頻率，本文取40 Hz。根據式（9），確定網格尺寸Δx=0.5 m；根據穩定性條件，時間步距dt=0.000 25 s。

2 方法驗證

算例1：均勻半空間沉積谷地

采用文獻［13，26］相同的沉積谷地模型和介質參數作為算例（圖3），以垂直入射脈沖波的計算結果驗證本文的有限元方法。計算參數為無量綱頻率η=2a/λs，泊松比μ=1/3，沉積谷地與半空間的剪切波速之比為200/400，壓縮波速之比為400/800，介質密度之比1.4/1.8，半圓形沉積谷地半徑取a=25 m。

圖3 方法驗證模型圖-均勻半空間沉積谷地Fig.3 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a uniform half-space

在上述模型的地表取41個觀測點，編號分別為0～40，圖4 為41 個點水平方向和豎直方向的時程圖。首先將場地各點的位移進行傅里葉變換，得到頻域響應的傅里葉譜，再計算與入射脈沖波的傅里葉譜的比值。文獻［13］和文獻［26］給出了入射角θ=0°，無量綱頻率η=1的解析解。圖5為本文計算結果與文獻［13］和文獻［26］進行比對，從圖中的對比結果可以發現：采用本文方法得到的數值模擬結果與解析解吻合，由此驗證了本文方法的正確性。

圖4 均勻半空間沉積谷地地表時程圖Fig.4 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a uniform half-space

圖5 本文計算結果與文獻［13］和文獻［26］結果的比較Fig.5 Comparison of results from this paper and Reference［13］，［26］

算例2：層狀半空間沉積谷地

采用文獻［27］的層狀半空間中半圓沉積地形模型和介質參數（圖6），同樣以垂直入射脈沖波的計算結果為例驗證本文方法。沉積谷地與土層的剪切波速之比為200/400，土層與基巖的剪切波速之比為400/800；沉積谷地與土層的壓縮波速之比為400/800，土層與基巖的壓縮波速之比為800/1 600。沉積谷地與土層的介質密度之比1.6/2.4，土層與基巖的介質密度之比2.4/3.2，泊松比均為μ=1/3，半圓形沉積谷地半徑取a=25 m。

圖6 方法驗證模型圖-層狀半空間沉積谷地Fig.6 Model diagram of method validation-alluvial valley embedded in a layered half-space

在上述模型的地表取41個觀測點，編號分別為0～40，圖7為41個點水平方向和豎直方向的時程圖。與算例1 的方法相似，首先將場地地表各點的位移進行傅里葉變換，得到頻域響應的傅里葉譜，再計算與入射脈沖波的傅里葉譜的比值。文獻［27］給出了入射角θ=0°，無量綱頻率η=0.5 的解析解。圖8 為本文計算結果與文獻［27］的比對，從對比結果可以發現：采用本文方法得到的模擬結果與FRANCISCO 等［27］給出的解析解吻合，由此驗證了本文方法的正確性。

圖7 層狀半空間沉積谷地地表時程圖Fig.7 Time history diagram of surface-alluvial valley embedded in a layered half-space

圖8 本文計算結果與文獻［27］結果的比較Fig.8 Comparison of results from this paper and Reference［27］

3 輸入波形和計算模型

假定入射SV 波為脈沖波（圖9），輸入波的截止頻率大約為fcut=40Hz。有限元計算模型為半空間上有一簡單圓弧形沉積，長300 m，高100 m，如圖10所示。沉積介質的密度為1 600kgm3，土層介質的密度為1 800kgm3，層狀半空間中基巖介質的密度為2 200kgm3，泊松比均為1/3。

圖9 輸入脈沖波時程及相應傅里葉譜Fig.9 Time history and Fourier spectrum of Pulse wave

圖10 沉積谷地計算模型示意圖Fig.10 Calculation model of alluvial valley

本文假定了4個計算模型，模型參數見表1。模型1和模型2為均勻半空間沉積谷地模型；模型3和模型4為層狀半空間沉積谷地模型，其中土層厚度為75 m，基巖厚度為25 m。

表1 模型參數Table 1 Model parameters

根據計算模型中沉積谷地半寬與土介質特性，由式（8）可得無量綱頻率與實際頻率對應關系見表2。

表2 無量綱頻率對應的實際頻率（Hz）Table 2 Actual frequency（Hz）corresponding to the dimensionless frequency

4 算例與分析

采用本文提出的有限元模擬方法研究沉積河谷地形對平面SV 波的寬頻散射，給出了不同入射角度和河谷深寬比等參數下的單頻結果。SV波入射角度分別為θ=0°、15°、25°，無量綱頻率分別為η=0.25、0.5、1、2、4、6。

4.1 均勻半空間沉積谷地

圖11 給出了不同角度SV 波入射下均勻半空間半圓形沉積河谷（模型1，h/a=1.0）地表位移譜放大系數β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉積河谷上方水平方向的放大系數β基本大于2.0，在x/a=0 及其附近處最大；除了頻率η=0.25，放大系數β=2.71，其它頻率的放大系數β在4.0～6.0 之間；在＞1 范圍內，放大系數β大于2 的情況不多。隨著入射角度增大，如分別為θ=15°、25°，放大系數β略有增大；且隨著頻率的增大，放大系數β的最大值向入射波的異側偏移，但偏移的幅度不大。

圖11 SV波入射下均勻半空間半圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型1）Fig.11 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 1）

豎直方向放大系數的特點與水平方向相似，但β要小于對應的水平方向，特別是當頻率較小時，如η=0.25，各種情形下整個地表范圍的放大系數β均小于2；另外，在x/a=0及其附近處放大系數β最小。

圖12 給出了不同角度SV 波入射下均勻半空間淺圓弧形沉積河谷（模型2，h/a=0.4）地表位移譜放大系數β。垂直入射（θ=0°）情形下：沉積河谷上方水平方向在η=0.25 時的放大系數β接近于2，沒有反映出地形的影響，隨著頻率的增大，沉積河谷的影響逐漸明顯，放大系數β也有增大，但也少有大于6.0；在＞1 范圍內，所有頻率的放大系數β大于2 的情況也不多。隨著入射角度增大，如分別為θ=15°、25°，頻率較小時的放大系數β略有增大，頻率增大時不明顯；且隨著頻率的增大，放大系數β的最大值向入射波的異側偏移，但偏移的幅度不大。豎直方向的放大系數的特點與水平方向相似，但放大值要小于水平方向。在＜1 范圍內，相對于半圓形沉積河谷，淺圓弧形沉積河谷在頻率較小階段的放大系數較小。

圖12 SV波入射下均勻半空間淺圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型2）Fig.12 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in uniform half space under SV wave incidence（model 2）

4.2 層狀半空間沉積谷地

圖13給出了不同角度SV波入射下層狀半空間中半圓形沉積河谷（模型3，h/a=1.0）地表位移譜放大系數β。η=2.0時的放大系數β相對最大。隨著入射角度增大，放大系數β的變化明顯，較均勻半空間中半圓形沉積河谷的大；且隨著頻率的增大，放大系數β的最大值向入射波的異側偏移，但偏移的幅度不大。豎直方向放大系數的特點與水平方向相似，但β值要小于對應的水平方向。

圖13 SV波入射下半空間半圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型3），其中虛線為對應的半空間地表位移譜放大曲線Fig.13 Amplification curve of surface displacement spectrum of semicircular alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 3），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve corresponding half-space ground

圖14給出了不同角度SV波入射下層狀半空間中淺圓弧形沉積河谷（模型4，h/a=0.4）地表位移譜放大系數β。在＜1范圍內，相對于層狀半空間中半圓形沉積河谷，層狀半空間中淺圓弧形沉積河谷在較小頻率階段的放大系數較小，頻率較大時的放大系數相差不大。

圖14 SV波入射下層狀半空間淺圓形沉積河谷地表位移譜放大曲線（模型4），其中虛線為對應的層狀半空間地表位移譜放大曲線Fig.14 Amplification curve of surface displacement spectrum of shallow arc alluvial valley in layered half space under SV wave incidence（model 4），and the dotted line is displacement spectrum amplification curve correspondinglayered half-space ground

圖13-14 中同時給出了與模型3 和模型4 對應的半空間和層狀半空間地表位移譜放大曲線（見圖中虛線）。對于半空間和層狀半空間模型，其地表位移譜放大結果對應相同的頻率在圖中表示為直線。與半空間和層狀半空間圓弧形沉積河谷地表位移譜放大曲線相比，半空間和層狀半空間的場地放大效應明顯偏小；但有極少數情形，半空間和層狀半空間的場地放大效應反而較大，這與盆地內的介質特性有關。

5 結論

本文采用有限元數值模擬方法研究了均勻半空間和層狀半空間中圓弧形沉積谷地對入射平面SV 波的散射問題，并分析了河谷深度、入射角度和頻率等因素的影響，得出一些有意義的結論：

（2）層狀半空間沉積河谷的β比均勻半空間沉積河谷的大，其中層狀土介質的因素很大。總體上，層狀半空間半圓形和淺圓弧形沉積河谷的放大系數β的變化趨勢，與均勻半空間半圓形和淺圓弧形沉積河谷相似。

（3）入射角度對放大系數β有影響，特別是頻率η較小階段，隨著頻率的增大，β有增大；另外且隨著頻率的增大，放大系數β的峰值向入射波的異側偏移，但偏移的幅度不大。

（4）豎直方向的放大系數β與上述水平方向的類似，＞1范圍內的地表放大系數β較大。但與水平方向的地表放大系數β的峰值總是出現在=0 附近不同，豎直方向的放大系數β的谷值一般出現在=0附近。

（5）大多情形下，半空間和層狀半空間的場地放大系數β比層狀半空間圓弧形沉積河谷的放大系數β明顯偏小。